多変数関数の積分における変数変換公式

関数 $f(x)$ の変数 $x$ を，微分可能な全単射 $\varphi :[a,b]\to [c,d]$ によって $x=\varphi (t)$ と変換するとき，次の等式が成り立つ：

$${\int }_c^{d}f(x)dx={\int }_a^{b}f(\varphi (t))\cdot |\frac{d\varphi }{dt}(t)|dt.$$

２変数関数 $f(x,y)$ の変数系 $x,y$ を，性質の良い（詳細は省きます）変数変換 $\varphi ,\psi$ によって $x=\varphi (s,t)$, $y=\psi (s,t)$ と変換するとき，次の等式が成り立つ：
$${\iint }_{A}f(x,y)dxdy={\iint }_{B}f(\varphi (s,t),\psi (s,t))|J(x,y;s,t)|dsdt,$$
ただしここで $$J(x,y;s,t)=\det \left(\begin{array}{cc}\frac{d\varphi }{ds}& \frac{d\varphi }{dt}\\ \frac{d\psi }{ds}& \frac{d\psi }{dt}\end{array}\right)$$ はヤコビ行列式（ヤコビアン）を表す．