多変数関数の積分における変数変換公式
次の定理は置換積分とか積分の変数変換公式と呼ばれ，定積分の計算においてしばしば強力な道具となります：
関数 $f(x)$ の変数 $x$ を，微分可能な全単射 $\phi \colon [a,b] \to [c,d]$ によって $x = \phi(t)$ と変換するとき，次の等式が成り立つ：
$$ \int_{c}^{d} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(\phi(t)) \cdot \left| \frac{d\phi}{dt}(t) \right| dt. $$
右辺の絶対値は，$\phi$ が単調減少の場合（このとき $\phi(a) = d$ かつ $\phi(b) = c$ となる）の符号を調整するものです．
多変数関数の場合にも，同様に変数変換の公式が存在します．変数系 $x, y$ を変数系 $s,t$ へと変換する場合，しばしば $x,y$ のそれぞれが $s,t$ の関数，すなわち
$$ x = \phi(s,t), \quad y = \psi(s,t)$$
のように変換されることになりますから，定理１での調整部分（$\frac{d\phi}{dt}$ の部分）はもう少し複雑になります．
２変数関数 $f(x,y)$ の変数系 $x,y$ を，性質の良い（詳細は省きます）変数変換 $\phi, \psi$ によって $x = \phi(s,t)$, $y = \psi(s,t)$ と変換するとき，次の等式が成り立つ：
$$ \iint_A f(x,y) dxdy = \iint_B f(\phi(s,t), \psi(s,t)) \left| J(x,y;s,t)\right| dsdt,$$
ただしここで $$J(x,y;s,t) = \det \begin{pmatrix}
\frac{d\phi}{ds} & \frac{d\phi}{dt} \\
\frac{d\psi}{ds} & \frac{d\psi}{dt}
\end{pmatrix} $$ はヤコビ行列式（ヤコビアン）を表す．
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