多変数関数の積分における変数変換公式

次の定理は置換積分とか積分の変数変換公式と呼ばれ，定積分の計算においてしばしば強力な道具となります：

関数$f(x)$の変数$x$を，微分可能な全単射$\phi \colon [a, b] \to [c, d]$によって$x=\phi (t)$と変換するとき，次の公式が成り立つ．

１変数の変換公式

関数$f(x)$の変数$x$を，微分可能な全単射$\phi \colon [a, b] \to [c, d]$によって$x=\phi (t)$と変換するとき，次の等式が成り立つ：

$$ \int_{c}^{d}f(x)dx = \int_{a}^{b}f(\phi(t))\cdot \left| \frac{d\phi}{dt}(t) \right| dt. $$

右辺の絶対値は，$\phi$が単調減少の場合（このとき$\phi(a) = d$かつ$\phi(b) = c$となる）の符号を調整するものです．

多変数関数の場合にも，同様に変数変換の公式が存在します．変数系$x, y$を変数系$s, t$へと変換する場合，しばしば$x, y$のぞれが$s, t$の関数，すなわち

投稿日：2021年10月30日

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