次の定理は置換積分とか積分の変数変換公式と呼ばれ,定積分の計算においてしばしば強力な道具となります:
関数$f(x)$の変数$x$を,微分可能な全単射$\phi \colon [a, b] \to [c, d]$によって$x=\phi (t)$と変換するとき,次の公式が成り立つ.
関数$f(x)$の変数$x$を,微分可能な全単射$\phi \colon [a, b] \to [c, d]$によって$x=\phi (t)$と変換するとき,次の等式が成り立つ:
$$ \int_{c}^{d}f(x)dx = \int_{a}^{b}f(\phi(t))\cdot \left| \frac{d\phi}{dt}(t) \right| dt. $$
右辺の絶対値は,$\phi$が単調減少の場合(このとき$\phi(a) = d$かつ$\phi(b) = c$となる)の符号を調整するものです.
多変数関数の場合にも,同様に変数変換の公式が存在します.変数系$x, y$を変数系$s, t$へと変換する場合,しばしば$x, y$のぞれが$s, t$の関数,すなわち