OnlineMathContest001
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OnlineMathContest001(A)
(A) がの解であるとき, そのような整数に対して, の総和を求めてください.
解説
であるから, 移項して, 両辺の平方を取って, 整理して, を得る.
ここで, 一般に三次方程式がつの実数解を持つとき, もうつの解も実数解となるので, これをとする.
がの解であることより, という恒等式が成立するので, 係数を比較して,
\begin{eqnarray}
\left
\{ \begin{array}{ll}
-10-k=0 \\
-7+10k=-m\\
7k=-n\\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}より, となる.
ゆえに, 求める答えは, となる.
OnlineMathContest001(B)
(B) とします. このとき, の各桁の総和を求めてください.
解説
ゆえに,
OnlineMathContest001(C)
(C) 方程式の実数解の積を求めてください.
解説
と置くと, 与式は,となる.
(右辺)より, であるから, 両辺二乗して, tについて解くと,となるが, より,
このとき, 解と係数の関係より, この二次方程式の実数解の積はとなる.
また, この実数解は与式の実数解と一致するので, ゆえに, 求める値は
OnlineMathContest001(D)
(D) となる正の整数の組のそれぞれについて積を考えます. こうしてできた積の総和をとするとき, に含まれる正の素因数のうち, 最大のものを答えてください.
解説
より一般に, となる正の整数の組のそれぞれについて積を考える.
一列に並んだ個の○のうち, 個を塗りつぶす場合の数は, 通りである.
このうち, 塗りつぶされた個の左から番目のものが, であるようなものの個数は, 下図のの各グループからそれぞれ個の○を選んで塗りつぶす場合の数に等しく, 個である.
ここで, )を, に対応させると, での取り方により, この式を満たすあらゆる組が尽くされる. ゆえに, であったから, に含まれる最大の素因数はである.