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OnlineMathContest001解説

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OnlineMathContest001(A)

(A) x=5±42x3mxn=0の解であるとき, そのような整数m,nに対して, m+nの総和を求めてください.

解説

x=5±42であるから, 移項して, x5=±42.両辺の平方を取って, 整理して, x210x7=0を得る.
ここで, 一般に三次方程式が2つの実数解を持つとき, もう1つの解も実数解となるので, これをkとする.
x=5±42x3mxn=0の解であることより, (xk)(x210x7)=x3mxnという恒等式が成立するので, 係数を比較して,
\begin{eqnarray}
\left
\{ \begin{array}{ll}
-10-k=0 \\
-7+10k=-m\\
7k=-n\\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}より, (m,n)=(107,70)となる.
ゆえに, 求める答えは, m+n=177となる.

OnlineMathContest001(B)

(B) N=9+99+999+9999++9999321とします. このとき, Nの各桁の総和を求めてください.

解説

N=(101)+(1001)++(103211)=_k=1321(10k1)=1111111110_322321=1111110000_322+1110321=1111110789_322

ゆえに, 1×318+7+8+9=342.

OnlineMathContest001(C)

(C) 方程式x2+18x+30=2x2+18x+45の実数解の積を求めてください.

解説

t=x2+18x+30と置くと, 与式は,t=2t+15となる.
(右辺)0より, t0であるから, 両辺二乗して, tについて解くと,t=10,6となるが, t0より, t=10.
このとき, x2+18x+30=10. x2+18x+20=0.解と係数の関係より, この二次方程式の実数解の積は20となる.
また, この実数解は与式の実数解と一致するので, ゆえに, 求める値は20.

OnlineMathContest001(D)

(D) a1+a2+a3++a505=1516となる正の整数の組(a1,a2,a3,,a505)のそれぞれについて積a1a2a3a505を考えます. こうしてできた積の総和をMとするとき, Mに含まれる正の素因数のうち, 最大のものを答えてください.

解説

より一般に, a1+a2+a3++am=nとなる正の整数の組(a1,a2,a3,,am)のそれぞれについて積a1a2a3amを考える.
一列に並んだn+m1個の○のうち, 2m1個を塗りつぶす場合の数は, n+m1C2m1通りである.
このうち, 塗りつぶされた2m1個の左から2,4,,2m2番目のものが, k1+1,k2+2,,km1+(m1)であるようなものの個数は, 下図のA1,A2,,Amの各グループからそれぞれ1個の○を選んで塗りつぶす場合の数に等しく, k1k2km1(n(k1+k2++km1))個である.















A1A2Am
k1k2n(k1+k2++km1)

ここで, k1,k2,,km1,n(k1+k2++km1)を, a1,a2,,amに対応させると, a1+a2++am=nk1,k2,,km1の取り方により, この式を満たすあらゆる組が尽くされる. ゆえに, m=505,n=1516であったから, n+m1C2m1=2021C1009に含まれる最大の素因数は2017である.

投稿日:2020118
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