シンプルなコネクター

135

言葉の定義とか調べてもよくわからないので間違って使っているかもしれませんが、ぼくは無学ど素人なので勘弁してほしいです。

次のような連結和を定義します。

　　　 $\begin{array}{r} D (k; l) = \sum_{\begin{array}{c} 0 < m_{1} < \dots < m_{a} \\ 0 < n_{1} < \dots < n_{b} \end{array}} \frac{1}{m^{k} n^{l}} \frac{1}{m_{a} + n_{b}} \end{array}$

　　　 $m^{k} = \prod_{i = 1}^{a} m_{i}^{k_{i}}, n^{l} = \prod_{i = 1}^{b} n_{i}^{l_{i}}$

です。この連結和を変形していきたいと思います。

　　　 $\begin{array}{r} \sum_{m_{r} < m} \frac{1}{m^{k} (m + n)} = \sum_{j = 0}^{k - 2} \frac{(- 1)^{j}}{n^{j + 1}} \sum_{m_{r} < m} \frac{1}{m^{k - j}} - \frac{(- 1)^{k}}{n^{k}} \sum_{h = 1}^{n} \frac{1}{h + m_{r}} \end{array}$
　

p r o o f .

\begin{aligned} \frac{1}{m^{k} (m + n)} & = \frac{1}{m^{k - 1} n} (\frac{1}{m} - \frac{1}{m + n}) \\ = \frac{1}{m^{k} n} - \frac{1}{m^{k - 1} n (m + n)} \\ = \frac{1}{m^{k} n} - \frac{1}{m^{k - 2} n^{2}} (\frac{1}{m} - \frac{1}{m + n}) \\ = \frac{1}{m^{k} n} - \frac{1}{m^{k - 1} n^{2}} + \frac{1}{m^{k - 2} n^{2} (m + n)} \\ = \dots \\ = \frac{1}{m^{k} n} - \frac{1}{m^{k - 1} n^{2}} + \frac{1}{m^{k - 2} n^{3}} - \dots + \frac{(- 1)^{k - 2}}{m^{2} n^{k - 1}} - \frac{(- 1)^{k}}{m n^{k - 1} (m + n)} \\ = \sum_{j = 0}^{k - 2} \frac{(- 1)^{j}}{m^{k - j} n^{j + 1}} - \frac{(- 1)^{k}}{m n^{k - 1} (m + n)} \end{aligned}

\begin{aligned} \sum_{m_{r} < m} \frac{1}{m (m + n)} & = \frac{1}{n} \sum_{m_{r} < m} (\frac{1}{m} - \frac{1}{m + n}) \\ = \frac{1}{n} (\frac{1}{m_{r} + 1} + \frac{1}{m_{r} + 2} + \dots - \frac{1}{m_{r} + n + 1} - \frac{1}{m_{r} + n + 2} - \dots) \\ = \frac{1}{n} (\frac{1}{m_{r} + 1} + \frac{1}{m_{r} + 2} + \dots + \frac{1}{m_{r} + n}) \\ = \frac{1}{n} \sum_{h = 1}^{n} \frac{1}{h + m_{r}} \end{aligned}

であることから従う。

これにより，

　　　 $\begin{aligned} D (k; l) & = \sum_{\begin{array}{c} 0 < m_{1} < \dots < m_{a} \\ 0 < n_{1} < \dots < n_{b} \end{array}} \frac{1}{m^{k} n^{l}} \frac{1}{m_{a} + n_{b}} \\ = \sum_{\begin{array}{c} 0 < m_{1} < \dots < m_{a - 1} \\ 0 < n_{1} < \dots < n_{b} \end{array}} \frac{1}{m_{1}^{k_{1}} \dots m_{a - 1}^{k_{a - 1}} n^{l}} \sum_{m_{a - 1} < m_{a}} \frac{1}{m_{a}^{k_{a}} (m_{a} + n_{b})} \\ = \sum_{\begin{array}{c} 0 < m_{1} < \dots < m_{a - 1} \\ 0 < n_{1} < \dots < n_{b} \end{array}} \frac{1}{m_{1}^{k_{1}} \dots m_{a - 1}^{k_{a - 1}} n^{l}} (\sum_{j = 0}^{k_{a} - 2} \frac{(- 1)^{j}}{n_{b}^{j + 1}} \sum_{m_{a - 1} < m_{a}} \frac{1}{m_{a}^{k_{a} - j}} - \frac{(- 1)^{k_{a}}}{n_{b}^{k_{a}}} \sum_{h = 1}^{n_{b}} \frac{1}{h + m_{a - 1}}) \\ = \sum_{j = 0}^{k_{a} - 2} (- 1)^{j} ζ (k_{1}, \dots, k_{a - 1}, k_{a} - j) ζ (l_{1}, \dots, l_{b - 1}, l_{b} + j + 1) - (- 1)^{k_{a}} \sum_{\begin{array}{c} 0 < m_{1} < \dots < m_{a - 1} \\ 0 < n_{1} < \dots < n_{b} \end{array}} \sum_{h = 1}^{n_{b}} \frac{1}{m_{1}^{k_{1}} \dots m_{a - 1}^{k_{a - 1}} n_{1}^{l_{1}} \dots n_{b - 1}^{l_{b - 1}} n_{b}^{k_{a} + l_{b}}} \frac{1}{h + m_{a - 1}} \end{aligned}$

となります。

　　　 $D (k; l) = \sum_{j_{a} = 0}^{k_{a} - 2} (- 1)^{j_{a}} ζ (k_{1}, \dots, k_{a - 1}, k_{a} - j_{a}) ζ (l_{1}, \dots, l_{b - 1}, l_{b} + j_{a} + 1) - (- 1)^{k_{a}} \sum_{\begin{matrix} 0 < m_{1} < \dots < m_{a - 1} \\ 0 < n_{1} < \dots < n_{b} \end{matrix}} \sum_{h_{a} = 1}^{n_{b}} \frac{1}{m_{1}^{k_{1}} \dots m_{a - 1}^{k_{a - 1}} n_{1}^{l_{1}} \dots n_{b - 1}^{l_{b - 1}} n_{b}^{k_{a} + l_{b}}} \frac{1}{h_{a - 1} + m_{a - 1}}$

これも一応輸送と呼ぶのでしょうか。素人なのでわかりませんが。
補題１の操作を繰り返し課すことを考慮して $h, j$ に添え字をつけました。
第２項において， $m_{a}$ のときと同じように $m_{a - 1}$ についての和を考えると

　　　 $\begin{array}{r} \sum_{m_{a - 2} < m_{a - 1}} \frac{1}{m_{a - 1}^{k_{a - 1}} (h_{a - 1} + m_{a - 1})} = \sum_{j_{a - 1} = 0}^{k_{a - 1} - 2} \frac{(- 1)^{j_{a - 1}}}{{h_{a - 1}}^{j_{a - 1} + 1}} \sum_{m_{a - 2} < m_{a - 1}} \frac{1}{m^{k_{a - 1} - j_{a - 1}}} - \frac{(- 1)^{k_{a - 1}}}{h_{a - 1}^{k_{a - 1}}} \sum_{h_{a - 2} = 1}^{h_{a - 1}} \frac{1}{h_{a - 2} + m_{a - 2}} \end{array}$

となるので

　　　 $\begin{aligned} \sum_{\begin{array}{c} 0 < m_{1} < \dots < m_{a - 1} \\ 0 < n_{1} < \dots < n_{b} \end{array}} \sum_{h_{a - 1} = 1}^{n_{b}} \frac{1}{m_{1}^{k_{1}} \dots m_{a - 1}^{k_{a - 1}} n_{1}^{l_{1}} \dots n_{b - 1}^{l_{b - 1}} n_{b}^{k_{a} + l_{b}}} \frac{1}{h_{a - 1} + m_{a - 1}} \\ = & \sum_{\begin{array}{c} 0 < m_{1} < \dots < m_{a - 2} \\ 0 < n_{1} < \dots < n_{b} \end{array}} \sum_{h_{a - 1} = 1}^{n_{b}} \frac{1}{m_{1}^{k_{1}} \dots m_{a - 2}^{k_{a - 2}} n_{1}^{l_{1}} \dots n_{b - 1}^{l_{b - 1}} n_{b}^{k_{a} + l_{b}}} \sum_{m_{a - 2} < m_{a - 1}} \frac{1}{m_{a - 1}^{k_{a - 1}} (h_{a - 1} + m_{a - 1})} \\ = & \sum_{\begin{array}{c} 0 < m_{1} < \dots < m_{a - 2} \\ 0 < n_{1} < \dots < n_{b} \end{array}} \sum_{h_{a - 1} = 1}^{n_{b}} \frac{1}{m_{1}^{k_{1}} \dots m_{a - 2}^{k_{a - 2}} n_{1}^{l_{1}} \dots n_{b - 1}^{l_{b - 1}} n_{b}^{k_{a} + l_{b}}} (\sum_{j_{a - 1} = 0}^{k_{a - 1} - 2} \frac{(- 1)^{j_{a - 1}}}{{h_{a - 1}}^{j_{a - 1} + 1}} \sum_{m_{a - 2} < m_{a - 1}} \frac{1}{m^{k_{a - 1} - j_{a - 1}}} - \frac{(- 1)^{k_{a - 1}}}{h_{a - 1}^{k_{a - 1}}} \sum_{h_{a - 2} = 1}^{h_{a - 1}} \frac{1}{h_{a - 2} + m_{a - 2}}) \\ = & \sum_{j_{a - 1} = 0}^{k_{a - 1} - 2} (- 1)^{j_{a - 1}} ζ (k_{1}, \dots, k_{a - 2}, k_{a - 1} - j_{a - 1}) \sum_{\begin{array}{c} 0 < n_{1} < \dots < n_{b} \\ 0 < h_{a - 1} \leq n_{b} \end{array}} \frac{1}{n_{1}^{l_{1}} \dots n_{b - 1}^{l_{b - 1}} n_{b}^{k_{a} + l_{b}} h_{a - 1}^{j_{a - 1} + 1}} - (- 1)^{k_{a - 1}} \sum_{\begin{array}{c} 0 < m_{1} < \dots < m_{a - 2} \\ 0 < n_{1} < \dots < n_{b} \\ 0 < h_{a - 1} \leq n_{b} \end{array}} \sum_{h_{a - 2} = 1}^{h_{a - 1}} \frac{1}{m_{1}^{k_{1}} \dots m_{a - 2}^{k_{a - 2}} n_{1}^{l_{1}} \dots n_{b - 1}^{l_{b - 1}} n_{b}^{k_{a} + l_{b}} h_{a - 1}^{k_{a - 1}}} \frac{1}{h_{a - 2} + m_{a - 2}} \end{aligned}$

となります。すなわち

となります。これを繰り返していきます。

　　　 $\begin{aligned} D (k; l) & = \sum_{j_{a} = 0}^{k_{a} - 2} (- 1)^{j_{a}} ζ (k_{1}, \dots, k_{a - 1}, k_{a} - j_{a}) ζ (l_{1}, \dots, l_{b - 1}, l_{b} + j_{a} + 1) \\ - (- 1)^{k_{a}} \sum_{j_{a - 1} = 0}^{k_{a - 1} - 2} (- 1)^{j_{a - 1}} ζ (k_{1}, \dots, k_{a - 2}, k_{a - 1} - j_{a - 1}) \sum_{\begin{array}{c} 0 < n_{1} < \dots < n_{b} \\ 0 < h_{a - 1} \leq n_{b} \end{array}} \frac{1}{n_{1}^{l_{1}} \dots n_{b - 1}^{l_{b - 1}} n_{b}^{k_{a} + l_{b}} h_{a - 1}^{j_{a - 1} + 1}} \\ + (- 1)^{k_{a - 1} + k_{a}} \sum_{\begin{array}{c} 0 < m_{1} < \dots < m_{a - 2} \\ 0 < n_{1} < \dots < n_{b} \\ 0 < h_{a - 2} \leq h_{a - 1} \leq n_{b} \end{array}} \frac{1}{m_{1}^{k_{1}} \dots m_{a - 2}^{k_{a - 2}} n_{1}^{l_{1}} \dots n_{b - 1}^{l_{b - 1}} n_{b}^{k_{a} + l_{b}} h_{a - 1}^{k_{a - 1}}} \frac{1}{h_{a - 2} + m_{a - 2}} \\ = \sum_{j_{a} = 0}^{k_{a} - 2} (- 1)^{j_{a}} ζ (k_{1}, \dots, k_{a - 1}, k_{a} - j_{a}) ζ (l_{1}, \dots, l_{b - 1}, l_{b} + j_{a} + 1) \\ - (- 1)^{k_{a}} \sum_{j_{a - 1} = 0}^{k_{a - 1} - 2} (- 1)^{j_{a - 1}} ζ (k_{1}, \dots, k_{a - 2}, k_{a - 1} - j_{a - 1}) \sum_{\begin{array}{c} 0 < n_{1} < \dots < n_{b} \\ 0 < h_{a - 1} \leq n_{b} \end{array}} \frac{1}{n_{1}^{l_{1}} \dots n_{b - 1}^{l_{b - 1}} n_{b}^{k_{a} + l_{b}} h_{a - 1}^{j_{a - 1} + 1}} \\ + (- 1)^{k_{a - 1} + k_{a}} \sum_{j_{a - 2} = 0}^{k_{a - 2} - 2} (- 1)^{j_{a - 2}} ζ (k_{1}, \dots, k_{a - 3}, k_{a - 2} - j_{a - 2}) \sum_{\begin{array}{c} 0 < n_{1} < \dots < n_{b} \\ 0 < h_{a - 2} \leq h_{a - 1} \leq n_{b} \end{array}} \frac{1}{n_{1}^{l_{1}} \dots n_{b - 1}^{l_{b - 1}} n_{b}^{k_{a} + l_{b}} h_{a - 1}^{k_{a - 1}} h_{a - 2}^{j_{a - 2} + 1}} \\ - (- 1)^{k_{a - 2} + k_{a - 1} + k_{a}} \sum_{\begin{array}{c} 0 < m_{1} < \dots < m_{a - 3} \\ 0 < n_{1} < \dots < n_{b} \\ 0 < h_{a - 3} \leq h_{a - 2} \leq h_{a - 1} \leq n_{b} \end{array}} \frac{1}{m_{1}^{k_{1}} \dots m_{a - 3}^{k_{a - 3}} n_{1}^{l_{1}} \dots n_{b - 1}^{l_{b - 1}} n_{b}^{k_{a} + l_{b}} h_{a - 1}^{k_{a - 1}} h_{a - 2}^{k_{a - 2}}} \frac{1}{h_{a - 3} + m_{a - 3}} \\ = \sum_{j_{a} = 0}^{k_{a} - 2} (- 1)^{j_{a}} ζ (k_{1}, \dots, k_{a - 1}, k_{a} - j_{a}) ζ (l_{1}, \dots, l_{b - 1}, l_{b} + j_{a} + 1) \\ - (- 1)^{k_{a}} \sum_{j_{a - 1} = 0}^{k_{a - 1} - 2} (- 1)^{j_{a - 1}} ζ (k_{1}, \dots, k_{a - 2}, k_{a - 1} - j_{a - 1}) \sum_{\begin{array}{c} 0 < n_{1} < \dots < n_{b} \\ 0 < h_{a - 1} \leq n_{b} \end{array}} \frac{1}{n_{1}^{l_{1}} \dots n_{b - 1}^{l_{b - 1}} n_{b}^{k_{a} + l_{b}} h_{a - 1}^{j_{a - 1} + 1}} \\ + (- 1)^{k_{a - 1} + k_{a}} \sum_{j_{a - 2} = 0}^{k_{a - 2} - 2} (- 1)^{j_{a - 2}} ζ (k_{1}, \dots, k_{a - 3}, k_{a - 2} - j_{a - 2}) \sum_{\begin{array}{c} 0 < n_{1} < \dots < n_{b} \\ 0 < h_{a - 2} \leq h_{a - 1} \leq n_{b} \end{array}} \frac{1}{n_{1}^{l_{1}} \dots n_{b - 1}^{l_{b - 1}} n_{b}^{k_{a} + l_{b}} h_{a - 1}^{k_{a - 1}} h_{a - 2}^{j_{a - 2} + 1}} \\ - (- 1)^{k_{a - 2} + k_{a - 1} + k_{a}} \sum_{j_{a - 3} = 0}^{k_{a - 3} - 2} (- 1)^{j_{a - 3}} ζ (k_{1}, \dots, k_{a - 4}, k_{a - 3} - j_{a - 3}) \sum_{\begin{array}{c} 0 < n_{1} < \dots < n_{b} \\ 0 < h_{a - 3} \leq h_{a - 2} \leq h_{a - 1} \leq n_{b} \end{array}} \frac{1}{n_{1}^{l_{1}} \dots n_{b - 1}^{l_{b - 1}} n_{b}^{k_{a} + l_{b}} h_{a - 1}^{k_{a - 1}} h_{a - 2}^{k_{a - 2}} h_{a - 3}^{j_{a - 3} + 1}} \\ + (- 1)^{k_{a - 3} + k_{a - 2} + k_{a - 1} + k_{a}} \sum_{\begin{array}{c} 0 < m_{1} < \dots < m_{a - 4} \\ 0 < n_{1} < \dots < n_{b} \\ 0 < h_{a - 4} \leq h_{a - 3} \leq h_{a - 2} \leq h_{a - 1} \leq n_{b} \end{array}} \frac{1}{m_{1}^{k_{1}} \dots m_{a - 4}^{k_{a - 4}} n_{1}^{l_{1}} \dots n_{b - 1}^{l_{b - 1}} n_{b}^{k_{a} + l_{b}} h_{a - 1}^{k_{a - 1}} h_{a - 2}^{k_{a - 2}} h_{a - 3}^{k_{a - 3}}} \frac{1}{h_{a - 4} + m_{a - 4}} \\ = \sum_{i = 0}^{a - 2} (- 1)^{i + k_{a} + k_{a - 1} + \dots + k_{a - i + 1}} \sum_{j_{a - i} = 0}^{k_{a - i} - 2} (- 1)^{j_{a - i}} ζ (k_{1}, \dots, k_{a - i - 1}, k_{a - i} - j_{a - i}) \sum_{\begin{array}{c} 0 < n_{1} < \dots < n_{b} \\ 0 < h_{a - i} \leq \dots \leq h_{a - 1} \leq n_{b} \end{array}} \frac{1}{n_{1}^{l_{1}} \dots n_{b - 1}^{l_{b - 1}} n_{b}^{k_{a} + l_{b}} h_{a - 1}^{k_{a} - 1} \dots h_{a - i + 1}^{k_{a - i + 1}} h_{a - i}^{j_{a - i} + 1}} \\ - (- 1)^{a + k_{a} + \dots + k_{2}} \sum_{\begin{array}{c} 0 < m_{1} \\ 0 < n_{1} < \dots < n_{b} \\ 0 < h_{1} \leq \dots \leq h_{a - 1} \leq n_{b} \end{array}} \frac{1}{m_{1}^{k_{1}} n_{1}^{l_{1}} \dots n_{b - 1}^{l_{b - 1}} n_{b}^{k_{a} + l_{b}} h_{a - 1}^{k_{a} - 1} \dots h_{2}^{k_{2}}} \frac{1}{h_{1} + m_{1}} \\ = \sum_{i = 0}^{a - 2} (- 1)^{i + k_{a} + k_{a - 1} + \dots + k_{a - i + 1}} \sum_{j_{a - i} = 0}^{k_{a - i} - 2} (- 1)^{j_{a - i}} ζ (k_{1}, \dots, k_{a - i - 1}, k_{a - i} - j_{a - i}) \sum_{\begin{array}{c} 0 < n_{1} < \dots < n_{b} \\ 0 < h_{a - i} \leq \dots \leq h_{a - 1} \leq n_{b} \end{array}} \frac{1}{n_{1}^{l_{1}} \dots n_{b - 1}^{l_{b - 1}} n_{b}^{k_{a} + l_{b}} h_{a - 1}^{k_{a} - 1} \dots h_{a - i + 1}^{k_{a - i + 1}} h_{a - i}^{j_{a - i} + 1}} \\ + (- 1)^{a - 1 + k_{a} + \dots + k_{2}} \sum_{\begin{array}{c} 0 < n_{1} < \dots < n_{b} \\ 0 < h_{1} \leq \dots \leq h_{a - 1} \leq n_{b} \end{array}} \frac{1}{n_{1}^{l_{1}} \dots n_{b - 1}^{l_{b - 1}} n_{b}^{k_{a} + l_{b}} h_{a - 1}^{k_{a} - 1} \dots h_{2}^{k_{2}}} (\sum_{j_{1} = 0}^{k_{1} - 2} \frac{(- 1)^{j_{1}}}{h_{1}^{j_{1} + 1}} \sum_{0 < m_{1}} \frac{1}{m_{1}^{k_{1} - j_{1}}} - \frac{(- 1)^{k_{1}}}{h_{1}^{k_{1}}} \sum_{h_{0} = 1}^{h_{1}} \frac{1}{h_{0}}) \\ = \sum_{i = 0}^{a - 1} (- 1)^{i + k_{a} + k_{a - 1} + \dots + k_{a - i + 1}} \sum_{j_{a - i} = 0}^{k_{a - i} - 2} (- 1)^{j_{a - i}} ζ (k_{1}, \dots, k_{a - i - 1}, k_{a - i} - j_{a - i}) \sum_{\begin{array}{c} 0 < n_{1} < \dots < n_{b} \\ 0 < h_{a - i} \leq \dots \leq h_{a - 1} \leq n_{b} \end{array}} \frac{1}{n_{1}^{l_{1}} \dots n_{b - 1}^{l_{b - 1}} n_{b}^{k_{a} + l_{b}} h_{a - 1}^{k_{a} - 1} \dots h_{a - i + 1}^{k_{a - i + 1}} h_{a - i}^{j_{a - i} + 1}} \\ + (- 1)^{a + k_{a} + \dots + k_{1}} \sum_{\begin{array}{c} 0 < n_{1} < \dots < n_{b} \\ 0 < h_{0} \leq h_{1} \leq \dots \leq h_{a - 1} \leq n_{b} \end{array}} \frac{1}{n_{1}^{l_{1}} \dots n_{b - 1}^{l_{b - 1}} n_{b}^{k_{a} + l_{b}} h_{a - 1}^{k_{a} - 1} \dots h_{1}^{k_{1}} h_{0}^{}} \end{aligned}$

ということで

　　　 $\begin{aligned} D (k; l) & = \sum_{i = 0}^{a} (- 1)^{i + k_{a} + k_{a - 1} + \dots + k_{a - i + 1}} \sum_{j_{a - i} = 0}^{k_{a - i} - 2} (- 1)^{j_{a - i}} ζ (k_{1}, \dots, k_{a - i - 1}, k_{a - i} - j_{a - i}) \sum_{\begin{array}{c} 0 < n_{1} < \dots < n_{b} \\ 0 < h_{a - i} \leq \dots \leq h_{a - 1} \leq n_{b} \end{array}} \frac{1}{n_{1}^{l_{1}} \dots n_{b - 1}^{l_{b - 1}} n_{b}^{k_{a} + l_{b}} h_{a - 1}^{k_{a} - 1} \dots h_{a - i + 1}^{k_{a - i + 1}} h_{a - i}^{j_{a - i} + 1}} \end{aligned}$

となります。便宜的に $k_{0} = 2$ です。
定義から $D (k; l) = D (l; k)$ ので，これにより多重ゼータ値の関係式が得られます。こことかに載ってる関係式のどれかの特別な場合なんでしょうけど。
定義を拡張して $D (k_{1}; \dots; k_{r})$ とするのは自然な発想ですが，一般の $r$ ではどうなるのでしょうか。
そりでは。

投稿日：2021年10月31日

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