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シンプルなコネクター

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$$\newcommand{BA}[0]{\begin{align*}} \newcommand{bl}[0]{\boldsymbol} \newcommand{D}[0]{\displaystyle} \newcommand{EA}[0]{\end{align*}} \newcommand{k}[0]{\boldsymbol{k}} \newcommand{L}[0]{\left} \newcommand{l}[0]{\boldsymbol{l}} \newcommand{m}[0]{\boldsymbol{m}} \newcommand{n}[0]{\boldsymbol{n}} \newcommand{R}[0]{\right} $$

言葉の定義とか調べてもよくわからないので間違って使っているかもしれませんが、ぼくは無学ど素人なので勘弁してほしいです。

次のような連結和を定義します。

   $\BA \D D(\k;\l)=\sum_{\substack{0< m_1<\cdots< m_a \\0< n_1<\cdots< n_b}}\frac{1}{{\m}^{\k}{\n^{\l}}}\frac{1}{m_a+n_b} \EA$

   $\D\m^{\k}=\prod_{i=1}^am_i^{k_i},~\n^{\l}=\prod_{i=1}^bn_i^{l_i}$

です。この連結和を変形していきたいと思います。

   $\BA \D \sum_{m_r< m}\frac{1}{m^k(m+n)}=\sum_{j=0}^{k-2}\frac{(-1)^j}{n^{j+1}}\sum_{m_r< m}\frac{1}{m^{k-j}}-\frac{(-1)^k}{n^k}\sum_{h=1}^n\frac{1}{h+m_r} \EA$
 

$proof.$
   $\BA \D \frac{1}{m^k(m+n)} &=\frac{1}{m^{k-1}n}\L(\frac{1}{m}-\frac{1}{m+n}\R)\\ &=\frac{1}{m^k n}-\frac{1}{m^{k-1}n(m+n)}\\ &=\frac{1}{m^k n}-\frac{1}{m^{k-2}n^2}\L(\frac{1}{m}-\frac{1}{m+n}\R)\\ &=\frac{1}{m^k n}-\frac{1}{m^{k-1}n^2}+\frac{1}{m^{k-2}n^2(m+n)}\\ &=\cdots\\ &=\frac{1}{m^k n}-\frac{1}{m^{k-1}n^2}+\frac{1}{m^{k-2}n^3}-\cdots+\frac{(-1)^{k-2}}{m^2n^{k-1}}-\frac{(-1)^{k}}{mn^{k-1}(m+n)}\\ &=\sum_{j=0}^{k-2}\frac{(-1)^j}{m^{k-j}n^{j+1}}-\frac{(-1)^k}{mn^{k-1}(m+n)} \EA$

   $\BA \D \sum_{m_r< m}\frac{1}{m(m+n)} &=\frac{1}{n}\sum_{m_r< m}\L(\frac{1}{m}-\frac{1}{m+n}\R)\\ &=\frac{1}{n}\L(\frac{1}{m_r+1}+\frac{1}{m_r+2}+\cdots-\frac{1}{m_r+n+1}-\frac{1}{m_r+n+2}-\cdots \R)\\ &=\frac{1}{n}\L(\frac{1}{m_r+1}+\frac{1}{m_r+2}+\cdots+\frac{1}{m_r+n}\R)\\ &=\frac{1}{n}\sum_{h=1}^n\frac{1}{h+m_r} \EA$

であることから従う。

これにより,

   $\BA \D D(\k;\l) &=\sum_{\substack{0< m_1<\cdots< m_a \\0< n_1<\cdots< n_b}}\frac{1}{{\m}^{\k}{\n^{\l}}}\frac{1}{m_a+n_b}\\ &=\sum_{\substack{0< m_1<\cdots< m_{a-1} \\0< n_1<\cdots< n_b}}\frac{1}{m_1^{k_1}\cdots m_{a-1}^{k_{a-1}}\n^{\l}}\sum_{m_{a-1}< m_a}\frac{1}{m_a^{k_a}(m_a+n_b)}\\ &=\sum_{\substack{0< m_1<\cdots< m_{a-1} \\0< n_1<\cdots< n_b}}\frac{1}{m_1^{k_1}\cdots m_{a-1}^{k_{a-1}}\n^{\l}} \L(\sum_{j=0}^{k_a-2}\frac{(-1)^j}{n_b^{j+1}}\sum_{m_{a-1}< m_a}\frac{1}{m_a^{k_a-j}} -\frac{(-1)^{k_a}}{n_b^{k_a}}\sum_{h=1}^{n_b}\frac{1}{h+m_{a-1}}\R)\\ &=\sum_{j=0}^{k_a-2}(-1)^j\zeta(k_1,\cdots,k_{a-1},k_a-j)\zeta(l_1,\cdots,l_{b-1},l_b+j+1) -(-1)^{k_a}\sum_{\substack{0< m_1<\cdots< m_{a-1} \\0< n_1<\cdots< n_b}}\sum_{h=1}^{n_b}\frac{1}{m_1^{k_1}\cdots m_{a-1}^{k_{a-1}}n_1^{l_1}\cdots n_{b-1}^{l_{b-1}}n_b^{k_a+l_b}}\frac{1}{h+m_{a-1}} \EA$

となります。

   $ \D D(\k;\l)=\sum_{j_a=0}^{k_a-2}(-1)^{j_a}\zeta(k_1,\cdots,k_{a-1},k_a-j_a)\zeta(l_1,\cdots,l_{b-1},l_b+j_a+1) -(-1)^{k_a}\sum_{\substack{0< m_1<\cdots< m_{a-1} \\0< n_1<\cdots< n_b}}\sum_{h_a=1}^{n_b}\frac{1}{m_1^{k_1}\cdots m_{a-1}^{k_{a-1}}n_1^{l_1}\cdots n_{b-1}^{l_{b-1}}n_b^{k_a+l_b}}\frac{1}{h_{a-1}+m_{a-1}} $

これも一応輸送と呼ぶのでしょうか。素人なのでわかりませんが。
補題1の操作を繰り返し課すことを考慮して$h,j$に添え字をつけました。
第2項において,$m_a$のときと同じように$m_{a-1}$についての和を考えると

   $\BA \D \sum_{m_{a-2}< m_{a-1}}\frac{1}{m_{a-1}^{k_{a-1}}(h_{a-1}+m_{a-1})} =\sum_{j_{a-1}=0}^{k_{a-1}-2}\frac{(-1)^{j_{a-1}}}{{h_{a-1}}^{j_{a-1}+1}}\sum_{m_{a-2}< m_{a-1}}\frac{1}{m^{k_{a-1}-j_{a-1}}} -\frac{(-1)^{k_{a-1}}}{h_{a-1}^{k_{a-1}}}\sum_{h_{a-2}=1}^{h_{a-1}}\frac{1}{h_{a-2}+m_{a-2}} \EA$

となるので

   $\BA \D &\sum_{\substack{0< m_1<\cdots< m_{a-1} \\0< n_1<\cdots< n_b}}\sum_{h_{a-1}=1}^{n_b} \frac{1}{m_1^{k_1}\cdots m_{a-1}^{k_{a-1}}n_1^{l_1}\cdots n_{b-1}^{l_{b-1}}n_b^{k_a+l_b}}\frac{1}{h_{a-1}+m_{a-1}}\\ =&\sum_{\substack{0< m_1<\cdots< m_{a-2} \\0< n_1<\cdots< n_b}}\sum_{h_{a-1}=1}^{n_b} \frac{1}{m_1^{k_1}\cdots m_{a-2}^{k_{a-2}}n_1^{l_1}\cdots n_{b-1}^{l_{b-1}}n_b^{k_a+l_b}} \sum_{m_{a-2}< m_{a-1}}\frac{1}{m_{a-1}^{k_{a-1}}(h_{a-1}+m_{a-1})}\\ =&\sum_{\substack{0< m_1<\cdots< m_{a-2} \\0< n_1<\cdots< n_b}}\sum_{h_{a-1}=1}^{n_b} \frac{1}{m_1^{k_1}\cdots m_{a-2}^{k_{a-2}}n_1^{l_1}\cdots n_{b-1}^{l_{b-1}}n_b^{k_a+l_b}} \L(\sum_{j_{a-1}=0}^{k_{a-1}-2}\frac{(-1)^{j_{a-1}}}{{h_{a-1}}^{j_{a-1}+1}}\sum_{m_{a-2}< m_{a-1}}\frac{1}{m^{k_{a-1}-j_{a-1}}} -\frac{(-1)^{k_{a-1}}}{h_{a-1}^{k_{a-1}}}\sum_{h_{a-2}=1}^{h_{a-1}}\frac{1}{h_{a-2}+m_{a-2}} \R)\\ =&\sum_{j_{a-1}=0}^{k_{a-1}-2}(-1)^{j_{a-1}}\zeta(k_1,\cdots,k_{a-2},k_{a-1}-j_{a-1}) \sum_{\substack{0< n_1<\cdots< n_b \\0< h_{a-1}\le n_b}}\frac{1}{n_1^{l_1}\cdots n_{b-1}^{l_{b-1}}n_b^{k_a+l_b}h_{a-1}^{j_{a-1}+1}} -(-1)^{k_{a-1}}\sum_{\substack{0< m_1<\cdots< m_{a-2} \\0< n_1<\cdots< n_b \\0< h_{a-1}\le n_b}}\sum_{h_{a-2}=1}^{h_{a-1}} \frac{1}{m_1^{k_1}\cdots m_{a-2}^{k_{a-2}}n_1^{l_1}\cdots n_{b-1}^{l_{b-1}}n_b^{k_a+l_b}h_{a-1}^{k_{a-1}}}\frac{1}{h_{a-2}+m_{a-2}} \EA$

となります。すなわち

   $\BA \D D(\k;\l) &=\sum_{j_a=0}^{k_a-2}(-1)^{j_a}\zeta(k_1,\cdots,k_{a-1},k_a-j_a)\zeta(l_1,\cdots,l_{b-1},l_b+j_a+1)\\ & -(-1)^{k_a}\sum_{j_{a-1}=0}^{k_{a-1}-2}(-1)^{j_{a-1}}\zeta(k_1,\cdots,k_{a-2},k_{a-1}-j_{a-1}) \sum_{\substack{0< n_1<\cdots< n_b \\0< h_{a-1}\le n_b}}\frac{1}{n_1^{l_1}\cdots n_{b-1}^{l_{b-1}}n_b^{k_a+l_b}h_{a-1}^{j_{a-1}+1}}\\ & +(-1)^{k_{a-1}+k_a}\sum_{\substack{0< m_1<\cdots< m_{a-2} \\0< n_1<\cdots< n_b \\0< h_{a-2}\le h_{a-1}\le n_b}} \frac{1}{m_1^{k_1}\cdots m_{a-2}^{k_{a-2}}n_1^{l_1}\cdots n_{b-1}^{l_{b-1}}n_b^{k_a+l_b}h_{a-1}^{k_{a-1}}}\frac{1}{h_{a-2}+m_{a-2}} \EA$

となります。これを繰り返していきます。

   $\BA \D D(\k;\l) &=\sum_{j_a=0}^{k_a-2}(-1)^{j_a}\zeta(k_1,\cdots,k_{a-1},k_a-j_a)\zeta(l_1,\cdots,l_{b-1},l_b+j_a+1)\\ & -(-1)^{k_a}\sum_{j_{a-1}=0}^{k_{a-1}-2}(-1)^{j_{a-1}}\zeta(k_1,\cdots,k_{a-2},k_{a-1}-j_{a-1}) \sum_{\substack{0< n_1<\cdots< n_b \\0< h_{a-1}\le n_b}}\frac{1}{n_1^{l_1}\cdots n_{b-1}^{l_{b-1}}n_b^{k_a+l_b}h_{a-1}^{j_{a-1}+1}}\\ & +(-1)^{k_{a-1}+k_a}\sum_{\substack{0< m_1<\cdots< m_{a-2} \\0< n_1<\cdots< n_b \\0< h_{a-2}\le h_{a-1}\le n_b}} \frac{1}{m_1^{k_1}\cdots m_{a-2}^{k_{a-2}}n_1^{l_1}\cdots n_{b-1}^{l_{b-1}}n_b^{k_a+l_b}h_{a-1}^{k_{a-1}}}\frac{1}{h_{a-2}+m_{a-2}}\\ &=\sum_{j_a=0}^{k_a-2}(-1)^{j_a}\zeta(k_1,\cdots,k_{a-1},k_a-j_a)\zeta(l_1,\cdots,l_{b-1},l_b+j_a+1)\\ & -(-1)^{k_a}\sum_{j_{a-1}=0}^{k_{a-1}-2}(-1)^{j_{a-1}}\zeta(k_1,\cdots,k_{a-2},k_{a-1}-j_{a-1}) \sum_{\substack{0< n_1<\cdots< n_b \\0< h_{a-1}\le n_b}}\frac{1}{n_1^{l_1}\cdots n_{b-1}^{l_{b-1}}n_b^{k_a+l_b}h_{a-1}^{j_{a-1}+1}}\\ & +(-1)^{k_{a-1}+k_a}\sum_{j_{a-2}=0}^{k_{a-2}-2}(-1)^{j_{a-2}}\zeta(k_1,\cdots,k_{a-3},k_{a-2}-j_{a-2}) \sum_{\substack{0< n_1<\cdots< n_b \\0< h_{a-2}\le h_{a-1}\le n_b}} \frac{1}{n_1^{l_1}\cdots n_{b-1}^{l_{b-1}}n_b^{k_a+l_b}h_{a-1}^{k_{a-1}}h_{a-2}^{j_{a-2}+1}}\\ & -(-1)^{k_{a-2}+k_{a-1}+k_a}\sum_{\substack{0< m_1<\cdots< m_{a-3} \\0< n_1<\cdots< n_b \\0< h_{a-3}\le h_{a-2}\le h_{a-1}\le n_b}} \frac{1}{m_1^{k_1}\cdots m_{a-3}^{k_{a-3}}n_1^{l_1}\cdots n_{b-1}^{l_{b-1}}n_b^{k_a+l_b}h_{a-1}^{k_{a-1}}h_{a-2}^{k_{a-2}}}\frac{1}{h_{a-3}+m_{a-3}}\\ &=\sum_{j_a=0}^{k_a-2}(-1)^{j_a}\zeta(k_1,\cdots,k_{a-1},k_a-j_a)\zeta(l_1,\cdots,l_{b-1},l_b+j_a+1)\\ & -(-1)^{k_a}\sum_{j_{a-1}=0}^{k_{a-1}-2}(-1)^{j_{a-1}}\zeta(k_1,\cdots,k_{a-2},k_{a-1}-j_{a-1}) \sum_{\substack{0< n_1<\cdots< n_b \\0< h_{a-1}\le n_b}}\frac{1}{n_1^{l_1}\cdots n_{b-1}^{l_{b-1}}n_b^{k_a+l_b}h_{a-1}^{j_{a-1}+1}}\\ & +(-1)^{k_{a-1}+k_a}\sum_{j_{a-2}=0}^{k_{a-2}-2}(-1)^{j_{a-2}}\zeta(k_1,\cdots,k_{a-3},k_{a-2}-j_{a-2}) \sum_{\substack{0< n_1<\cdots< n_b \\0< h_{a-2}\le h_{a-1}\le n_b}} \frac{1}{n_1^{l_1}\cdots n_{b-1}^{l_{b-1}}n_b^{k_a+l_b}h_{a-1}^{k_{a-1}}h_{a-2}^{j_{a-2}+1}}\\ & -(-1)^{k_{a-2}+k_{a-1}+k_a}\sum_{j_{a-3}=0}^{k_{a-3}-2}(-1)^{j_{a-3}}\zeta(k_1,\cdots,k_{a-4},k_{a-3}-j_{a-3}) \sum_{\substack{0< n_1<\cdots< n_b \\0< h_{a-3}\le h_{a-2}\le h_{a-1}\le n_b}} \frac{1}{n_1^{l_1}\cdots n_{b-1}^{l_{b-1}}n_b^{k_a+l_b}h_{a-1}^{k_{a-1}}h_{a-2}^{k_{a-2}}h_{a-3}^{j_{a-3}+1}}\\ & +(-1)^{k_{a-3}+k_{a-2}+k_{a-1}+k_a}\sum_{\substack{0< m_1<\cdots< m_{a-4} \\0< n_1<\cdots< n_b \\0< h_{a-4}\le h_{a-3}\le h_{a-2}\le h_{a-1}\le n_b}} \frac{1}{m_1^{k_1}\cdots m_{a-4}^{k_{a-4}}n_1^{l_1}\cdots n_{b-1}^{l_{b-1}}n_b^{k_a+l_b}h_{a-1}^{k_{a-1}}h_{a-2}^{k_{a-2}}h_{a-3}^{k_{a-3}}}\frac{1}{h_{a-4}+m_{a-4}}\\ &=\sum_{i=0}^{a-2}(-1)^{i+k_{a}+k_{a-1}+\cdots+k_{a-i+1}}\sum_{j_{a-i}=0}^{k_{a-i}-2}(-1)^{j_{a-i}}\zeta(k_1,\cdots,k_{a-i-1},k_{a-i}-j_{a-i}) \sum_{\substack{0< n_1<\cdots< n_b \\ 0< h_{a-i}\le \cdots\le h_{a-1}\le n_b}} \frac{1}{n_1^{l_1}\cdots n_{b-1}^{l_{b-1}}n_b^{k_a+l_b}h_{a-1}^{k_a-1}\cdots h_{a-i+1}^{k_{a-i+1}}h_{a-i}^{j_{a-i}+1}}\\ & -(-1)^{a+k_a+\cdots+k_2}\sum_{\substack{0< m_1\\0< n_1<\cdots< n_b\\0< h_1\le\cdots\le h_{a-1}\le n_b}} \frac{1}{m_1^{k_1}n_1^{l_1}\cdots n_{b-1}^{l_{b-1}}n_b^{k_a+l_b}h_{a-1}^{k_a-1}\cdots h_2^{k_2}}\frac{1}{h_1+m_1}\\ &=\sum_{i=0}^{a-2}(-1)^{i+k_{a}+k_{a-1}+\cdots+k_{a-i+1}}\sum_{j_{a-i}=0}^{k_{a-i}-2}(-1)^{j_{a-i}}\zeta(k_1,\cdots,k_{a-i-1},k_{a-i}-j_{a-i}) \sum_{\substack{0< n_1<\cdots< n_b \\ 0< h_{a-i}\le \cdots\le h_{a-1}\le n_b}} \frac{1}{n_1^{l_1}\cdots n_{b-1}^{l_{b-1}}n_b^{k_a+l_b}h_{a-1}^{k_a-1}\cdots h_{a-i+1}^{k_{a-i+1}}h_{a-i}^{j_{a-i}+1}}\\ & +(-1)^{a-1+k_a+\cdots+k_2}\sum_{\substack{0< n_1<\cdots< n_b\\0< h_1\le\cdots\le h_{a-1}\le n_b}} \frac{1}{n_1^{l_1}\cdots n_{b-1}^{l_{b-1}}n_b^{k_a+l_b}h_{a-1}^{k_a-1}\cdots h_2^{k_2}} \L(\sum_{j_1=0}^{k_1-2}\frac{(-1)^{j_1}}{h_1^{j_1+1}}\sum_{0< m_1}\frac{1}{m_1^{k_1-j_1}}-\frac{(-1)^{k_1}}{h_1^{k_1}}\sum_{h_0=1}^{h_1}\frac{1}{h_0}\R)\\ &=\sum_{i=0}^{a-1}(-1)^{i+k_{a}+k_{a-1}+\cdots+k_{a-i+1}}\sum_{j_{a-i}=0}^{k_{a-i}-2}(-1)^{j_{a-i}}\zeta(k_1,\cdots,k_{a-i-1},k_{a-i}-j_{a-i}) \sum_{\substack{0< n_1<\cdots< n_b \\ 0< h_{a-i}\le \cdots\le h_{a-1}\le n_b}} \frac{1}{n_1^{l_1}\cdots n_{b-1}^{l_{b-1}}n_b^{k_a+l_b}h_{a-1}^{k_a-1}\cdots h_{a-i+1}^{k_{a-i+1}}h_{a-i}^{j_{a-i}+1}}\\ & +(-1)^{a+k_a+\cdots+k_1}\sum_{\substack{0< n_1<\cdots< n_b\\0< h_0\le h_1\le\cdots\le h_{a-1}\le n_b}} \frac{1}{n_1^{l_1}\cdots n_{b-1}^{l_{b-1}}n_b^{k_a+l_b}h_{a-1}^{k_a-1}\cdots h_1^{k_1}h_0^{\,}} \EA$

ということで

   $\BA \D D(\k;\l) &=\sum_{i=0}^{a}(-1)^{i+k_{a}+k_{a-1}+\cdots+k_{a-i+1}}\sum_{j_{a-i}=0}^{k_{a-i}-2}(-1)^{j_{a-i}}\zeta(k_1,\cdots,k_{a-i-1},k_{a-i}-j_{a-i}) \sum_{\substack{0< n_1<\cdots< n_b \\ 0< h_{a-i}\le \cdots\le h_{a-1}\le n_b}} \frac{1}{n_1^{l_1}\cdots n_{b-1}^{l_{b-1}}n_b^{k_a+l_b}h_{a-1}^{k_a-1}\cdots h_{a-i+1}^{k_{a-i+1}}h_{a-i}^{j_{a-i}+1}} \EA$

となります。便宜的に$k_0=2$です。
定義から$D(\k;\l)=D(\l;\k)$ので,これにより多重ゼータ値の関係式が得られます。 ここ とかに載ってる関係式のどれかの特別な場合なんでしょうけど。
定義を拡張して$D(\k_1;\cdots;\k_r)$とするのは自然な発想ですが,一般の$r$ではどうなるのでしょうか。
そりでは。

投稿日:20211031

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