行列指数関数：exp(A)exp(B) = exp(A+B) → [A,B]=0は成立しない

指数法則,行列,指数関数

1958

$[A, B] = 0 \to e^{A} e^{B} = e^{A + B}$ は成立する

以下 $M_{n} (C)$ を、複素数を要素にもつ $n \times n$ の正方行列の集合とします。

行列の指数関数はTaylor展開で定義されます。 $A \in M_{n} (C)$ とすると、以下のようになります:

行列の指数関数

$\begin{array}{r} e^{A} := \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} A^{n} \end{array}$

行列の指数関数では、 $A, B \in M_{n} (C)$ としたとき、
$\begin{array}{r} (1) & e^{A} e^{B} = e^{A + B} \end{array}$
は一般には成立しません。 $e^{A} e^{B}$ は一般にはBaker-Campbell-Hausdorffの公式

Baker-Campbell-Hausdorffの公式

$\begin{array}{r} e^{A} e^{B} = \exp (A + B + \frac{1}{2} [A, B] + \frac{1}{12} [A, [A, B]] + \frac{1}{12} [B, [B, A]] \dots) \end{array}$

のようになります。
ここで、上記公式の右辺 $\frac{1}{2} [A, B]$ 以降の項にはすべて $[A, B]$ が積として含まれることから、 $[A, B] = 0$ であれば $e^{A} e^{B} = e^{A + B}$ であることがわかります：

$\begin{array}{r} [A, B] = 0 \to e^{A} e^{B} = e^{A + B} \end{array}$

（ $A, B$ が数のとき、 $e^{A} e^{B} = e^{A + B}$ を、両辺を展開することにより証明できますが、この証明は $A, B$ が可換行列でも成り立つことからも公式2の成立がわかります）

$e^{A} e^{B} = e^{A + B} \to [A, B] = 0$ は成立しない

逆はどうでしょう。すなわち

$\begin{array}{r} e^{A} e^{B} = e^{A + B} \to [A, B] = 0 \end{array}$

は成立するでしょうか。

実はこれは成立しません。

反例を挙げます。例えば $A, B \in M_{2} (C)$ なら

\times

2行列におけるcounter example

$A = (\begin{matrix} i π & 0 \\ 0 & - i π \end{matrix}), B = (\begin{matrix} i π & 1 \\ 0 & - i π \end{matrix})$

という例があります（Ref.[1]より引用）。

e^{A} e^{B} = e^{A + B}

だが

[A, B] \neq 0

この例の場合、 $e^{A} e^{B} = e^{A + B}$ を示すには、 $A, B, A + B$ の固有値さえ求めればよく、固有ベクトルは必要ありません。

$e^{A}$ の計算: $A$ はすでに対角化されており、 $e^{A} = - 1$ である。
( $\exp (diag (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})) = diag (\exp (a_{1}), \exp (a_{2}), \dots, \exp (a_{n}))$ に注意)
$e^{B}$ の計算: $B$ の固有値は $\pm i π$ で対角化可能であり、対角化された行列を $D_{B}$ とすると $D_{B} = diag (i π, - i π)$ なので、 $e^{D_{B}} = - 1$ 。よって対角化するための正則行列を $P$ とすると $e^{B} = e^{P D_{B} P^{- 1}} = P (- 1) P^{- 1} = - 1$
$e^{A + B}$ の計算: $A + B$ の固有値は $\pm 2 i π$ であるため、対角化された行列を $D_{A + B}$ とすると、 $e^{D_{A + B}} = 1$ 。よって $e^{B}$ の計算と同様の議論から $e^{A + B} = 1$ 。

よって $e^{A} e^{B} = e^{A + B} = 1$ 。
$[A, B] \neq 0$ は直接計算で簡単に確かめられます。 $_{◻}$

$A, B \in M_{3} (C)$ なら

3 \times 3

行列におけるcounter example

$A = (\begin{matrix} 0 & 6 π & 0 \\ - 6 π & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}), B = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 8 π \\ 0 & - 8 π & 0 \end{matrix})$

という例があります（Ref.[2]より引用）。

e^{A} e^{B} = e^{A + B}

だが

[A, B] \neq 0

これも上の例と同様、固有値を計算すれば示せます。この場合 $A, B, A + B$ の固有値は全て $2 n i π, n \in Z$ の形をしており、固有値の縮退もないので対角化可能です。よって $M_{2} (C)$ の例での計算を踏まえれば、
$e^{A} = e^{B} = e^{A + B} = 1 ∴ e^{A} e^{B} = e^{A + B} (= 1)$
がすぐにわかります。
$[A, B] \neq 0$ は簡単に確かめられます。 $_{◻}$