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ε-δ論法を図示する

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極限の定義

limxaf(x)=b
(ε>0,δ>0 s.t. |xa|<δ|f(x)b|<ε)

訳すと

「どんなε>0に対してでも、|xa|<δ|f(x)b|<εとなるようなδ>0が存在する。」
となります。

関数f(x)があり、y=f(x)からどんな距離の点をf(x)上でとったとしても、その点のx座標とx=aとの距離が必ずδより小さくなる、というようなδが存在する

ということを言っており、図示するとこのようになります。

ε-δ論法を図示 ε-δ論法を図示

まず、f(x1)bの距離がε1となるようなx1を設定してみます。

すると、|x1a|<δ1となります。

次に、f(x2)bの距離がε2となるようなx2を設定してみます。

すると、|x2a|<δ2となります。

これを繰り返していき、どんなεを設定しても、|xa|<δとなるδが見つかればlimxaf(x)=bだよー、と言っています。

関数f(x)=x(x0)があり、f(0)は存在しないものとします。
ε>0,δ=εとおくと
|x0|<δ
|f(x)0|=|x0|<δ=ε
よって、ε>0,δ>0 s.t. |x0|<δ|f(x)0|<εとなり
limx0f(x)=0といえます。

ポイントは、δεを使ってうまく設定することです。

連続性

f(x)I
(ε>0,a,xI,δ>0s.t.|xa|<δ|f(x)f(a)|<ε)

上記の図でb=f(a)となる場合です。

やっていることは同じです。

関数f(x)=x2がある。
aR,ε>0
δ=ε|x+a|とおくと
|xa|<δ=ε|x+a|
|xa||x+a|<ε

|xa|<δ
|f(x)f(a)|=|x2a2|=|xa||x+a|<ε

よって、ε>0,a,xR,δ>0s.t.|xa|<δ|f(x)f(a)|<εとなり
f(x)=x2は連続といえます。

2023/1/25 追記

申し訳ないのですが、アライグマ様からコメントで訂正をいただきました。
言葉を雑に扱っていたことを反省し、精進します。

limxaf(x)=b
(ε>0,δ>0 s.t. 0<|xa|<δ|f(x)b|<ε)

0<を加えることで、x=aの場合を除外しました。

aに限りなく近づく、ということなのでx=aの場合を除外します。

ちなみに、点x=aを許した場合が連続の定義となります。

limxaf(x)=f(a)f(x)a
ということを理解していればイメージしやすいと思います。
(僕はイメージできていなかったゆえに間違えておりました。)

I=(b,c)R,f(x)I,aI.
,f(x)x=a,:
ε>0,δ>0 s.t. xI(|xa|<δ|f(x)f(a)|<ε)

間違い
ε>0,a,xI,δ>0 s.t. |xa|<δ|f(x)f(a)|<ε
...a,xI s.t. ...とあるので、「|xa|<δ|f(x)f(a)|<ε」を評価する前に、xaを最初に設定できます。
このx,aに対してδ=|xa|2とおくことで
|xa|<δ|f(x)f(a)|<ε」は必ずTRUEになります。

(|xa|<|xa|2 はFALSEで、「FALSE⇒TRUE」「FALSE⇒FALSE」はどちらもTRUEとなります。例えば「明日は晴れ ⇒ 運動会を決行する」は「明日が雨」のときについては言っていないので、雨の時に決行しようがしまいがウソは言っていません。)

つまり、どんな関数も連続になってしまいます。

また、「点aについて連続」というのを言っていなかったのも間違いです。

イメージとしては「点aについて連続」が、どの点a(I)にも言えるということで、区間Iで連続ということが言えます。

参考)
イプシロンデルタ論法をわかりやすく丁寧に~関数の極限の定義

投稿日:2021113
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あーく
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