極限の定義
訳すと
「どんなに対してでも、となるようなが存在する。」
となります。
関数があり、からどんな距離の点を上でとったとしても、その点の座標ととの距離が必ずより小さくなる、というようなが存在する
ということを言っており、図示するとこのようになります。
ε-δ論法を図示
まず、との距離がとなるようなを設定してみます。
すると、となります。
次に、との距離がとなるようなを設定してみます。
すると、となります。
これを繰り返していき、どんなを設定しても、となるが見つかればだよー、と言っています。
関数があり、は存在しないものとします。
とおくと
よって、となり
といえます。
ポイントは、をを使ってうまく設定することです。
連続性
上記の図でとなる場合です。
やっていることは同じです。
関数がある。
とおくと
よって、となり
は連続といえます。
2023/1/25 追記
申し訳ないのですが、アライグマ様からコメントで訂正をいただきました。
言葉を雑に扱っていたことを反省し、精進します。
を加えることで、の場合を除外しました。
点に限りなく近づく、ということなのでの場合を除外します。
ちなみに、点を許した場合が連続の定義となります。
ということを理解していればイメージしやすいと思います。
(僕はイメージできていなかったゆえに間違えておりました。)
間違い
とあるので、「」を評価する前に、とを最初に設定できます。
このに対してとおくことで
「」は必ずTRUEになります。
( はFALSEで、「FALSE⇒TRUE」「FALSE⇒FALSE」はどちらもTRUEとなります。例えば「明日は晴れ ⇒ 運動会を決行する」は「明日が雨」のときについては言っていないので、雨の時に決行しようがしまいがウソは言っていません。)
つまり、どんな関数も連続になってしまいます。
また、「点について連続」というのを言っていなかったのも間違いです。
イメージとしては「点について連続」が、どの点にも言えるということで、区間で連続ということが言えます。
参考)
イプシロンデルタ論法をわかりやすく丁寧に~関数の極限の定義