複素積分2

今回は積分botさんの積分を証明します。虚部を利用することによってとても簡単な積分に直すことができます。

証明

$\ln z$の偏角は、$-\pi \le \arg z<\pi$とします。
まず、$x\in \mathbb{R}$のとき
$$\begin{array}{rl}\ln \sin x& =\ln \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\\ & =\mathrm{Re}(\ln \frac{e^{-ix}-e^{ix}}{2}+\ln i+ix)\\ & =\mathrm{Re}\ln \frac{1-e^{2ix}}{2}\end{array}$$
なので、元の積分を$I$と置くと
$$\begin{array}{rl}I& ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\mathrm{Re}\frac{x\ln \frac{1-e^{2ix}}{2}}{\sin 2x}\\ & =\mathrm{Re}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{2ix\ln \frac{1-e^{2ix}}{2}}{e^{2ix}-e^{-2ix}}dx\\ & =\mathrm{Re}{\int }_{z=e^{2ix}}\frac{\ln z\ln \frac{1-z}{2}}{z-z^{-1}}\frac{dz}{2iz}\\ & =\frac{1}{2}\mathrm{Im}{\int }_{C_1}\frac{\ln z\ln \frac{1-z}{2}}{z^2-1}dz\end{array}$$
と変形できます。但し、積分経路を、半円状に

$$\begin{array}{rl}{C}_1& :e^{i\theta }(\theta :0\to \pi )\\ L_1& :x(x:-1+0i\to -r+0i)\\ C_2& :r{e}^{i\theta }(\theta :\pi \to 0)\\ L_2& :x(x:r\to 1-r)\end{array}$$
とします。また、
$$f(z)=\frac{\ln z\ln \frac{1-z}{2}}{1-z^2}$$
と置きます。
$${\int }_{C_1+L_1+C_2+L_2}f(z)dz=0$$
ですから、
$$\begin{array}{rl}I& =-\frac{1}{2}\mathrm{Im}{\int }_{C_1}f(z)dz\\ & =\frac{1}{2}\mathrm{Im}{\int }_{L_1+C_2+L_2}f(z)dz\\ & =\frac{1}{2}\mathrm{Im}({\int }_{-1}^{0}f(x+0i)dx+{\int }_0^{1}f(x)dx)(r\to 0)\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^1\mathrm{Im}f(-x+0i)dx+\frac{1}{2}{\int }_0^1\mathrm{Im}f(x)dx\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^1\mathrm{Im}(\frac{(\ln x+\pi i)\ln \frac{1+x}{2}}{1-x^2}-\frac{\ln x\ln \frac{1+x}{2}}{1-x^2})dx\\ & =\frac{\pi }{2}{\int }_0^1\frac{\ln \frac{1+x}{2}}{1-x^2}dx\\ & =\frac{\pi }{4}{\int }_0^1(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x})\ln \frac{1+x}{2}dx\\ & =\frac{\pi }{4}{\int }_{\frac{1}{2}}^1(\frac{\ln t}{t}+\frac{\ln t}{1-t})dt(t=\frac{1+x}{2})\\ & =\frac{\pi }{4}({\left[\frac{{\ln }^{2}t}{2}\right]}_{\frac{1}{2}}^1+\frac{1}{2}({\int }_{\frac{1}{2}}^1\frac{\ln t}{1-t}dt+{[-\ln (1-t)\ln t]}_{\frac{1}{2}}^1+{\int }_{\frac{1}{2}}^1\frac{\ln (1-t)}{t}dt))\\ & =\frac{\pi }{4}(-\frac{{\ln }^{2}2}{2}+\frac{1}{2}({\ln }^{2}2+{\int }_0^{\frac{1}{2}}\frac{\ln (1-t)}{t}dt+{\int }_{\frac{1}{2}}^1\frac{\ln (1-t)}{t}dt))\\ & =\frac{\pi }{8}{\int }_0^1\frac{\ln (1-t)}{t}dt\\ & =-\frac{\pi }{8}\zeta (2)\\ & =-\frac{{\pi }^3}{48}.\end{array}$$

以上で証明は終わりです。最後まで読んでくださりありがとうございました。