複素積分2
今回は積分botさんの積分を証明します。虚部を利用することによってとても簡単な積分に直すことができます。
$$ \int _{0}^{\frac {\pi }2}\frac {x\ln \sin x}{\sin 2x}dx=-\frac {\pi ^{3}}{48} $$
証明
$\ln z$の偏角は、$-\pi \leq \arg z < \pi$とします。
まず、$x\in \mathbb{R}$のとき
$$
\begin {aligned}
\ln \sin x&=\ln \frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\\
&=\Re\left (\ln \frac {e^{-ix}-e^{ix}}2+\ln i+ix\right )\\
&=\Re \ln \frac {1-e^{2ix}}2
\end {aligned}
$$
なので、元の積分を$I$と置くと
$$
\begin {aligned}
I &= \int_0^{\frac {\pi }2} \Re \frac{x\ln \frac{1-e^{2ix}}2}{\sin 2x}\\
&=\Re \int _{0}^{\frac {\pi }2}\frac {2ix\ln \frac {1-e^{2ix}}2}{e^{2ix}-e^{-2ix}}dx\\
&=\Re \int _{z=e^{2ix}}\frac {\ln z\ln \frac {1-z}2}{z-z^{-1}}\frac {dz}{2iz}\\
&=\frac {1}2\Im \int _{C_1}\frac {\ln z\ln \frac {1-z}2}{z^{2}-1}dz
\end {aligned}
$$
と変形できます。但し、積分経路を、半円状に
$$
\begin{aligned}
C_1&:e^{i\theta}\quad (\theta : 0 \to \pi)\\
L_1&:x\quad (x:-1+0i\to -r+0i)\\
C_2&:re^{i\theta }\quad (\theta :\pi \to 0)\\
L_2&:x\quad (x:r\to 1-r)\\
\end{aligned}
$$
とします。また、
$$
f(z)=\frac {\ln z\ln \frac {1-z}2}{1-z^{2}}
$$
と置きます。
$$
\int _{C_1+L_1+C_2+L_2}f(z)dz=0
$$
ですから、
$$
\begin {aligned}
I&=-\frac {1}2\Im\int _{C_1}f(z)dz\\
&=\frac {1}2\Im\int _{L_1+C_2+L_2}f(z)dz\\
&=\frac {1}2\Im\left (\int _{-1}^{0}f(x+0i)dx+\int _{0}^{1}f(x)dx\right )\quad (r\to 0)\\
&=\frac {1}2\int _{0}^{1}\Im f(-x+0i)d x+\frac {1}2\int _{0}^{1}\Im f(x)dx\\
&=\frac {1}2\int _{0}^{1}\Im \left (\frac {(\ln x+\pi i)\ln \frac {1+x}2}{1-x^2}-\frac {\ln x\ln \frac {1+x}2}{1-x^{2}}\right )dx\\
&=\frac {\pi }2\int _{0}^{1}\frac {\ln \frac {1+x}2}{1-x^{2}}dx\\
&=\frac {\pi }4\int _{0}^{1}\left (\frac {1}{1+x}+\frac {1}{1-x}\right )\ln \frac {1+x}2dx\\
&=\frac {\pi }4\int _{\frac {1}2}^{1}\left (\frac {\ln t}t+\frac {\ln t}{1-t}\right )dt\quad \left (t=\frac {1+x}2\right )\\
&=\frac {\pi }4\left (\left [\frac {\ln ^{2}t}2\right ]_{\frac {1}2}^{1}+\frac {1}2\left (\int _{\frac {1}2}^{1}\frac {\ln t}{1-t}dt+\left [-\ln (1-t)\ln t\right ]_{\frac {1}2}^{1}+\int _{\frac {1}2}^{1}\frac {\ln (1-t)}tdt\right )\right )\\
&=\frac {\pi }4\left (-\frac {\ln ^{2}2}2+\frac {1}2\left (\ln ^{2}2+\int _{0}^{\frac {1}2}\frac {\ln (1-t)}tdt+\int _{\frac {1}2}^{1}\frac {\ln (1-t)}tdt\right )\right )\\
&=\frac \pi 8\int _{0}^{1}\frac {\ln (1-t)}tdt\\
&=-\frac {\pi }8\zeta (2)\\
&=\color{blue}{-\frac {\pi ^{3}}{48}}.
\end {aligned}
$$
以上で証明は終わりです。最後まで読んでくださりありがとうございました。
