R_x(θ)R_y(θ)R_z(θ)

$R_x(\theta)= \exp(-iX\theta/2) = \begin{bmatrix} \cos(\theta/2) & -i\sin(\theta/2) \\ -i\sin(\theta/2) & \cos(\theta/2) \end{bmatrix}$

$R_y(\theta) = \exp(-iY\theta/2)= \begin{bmatrix} \cos(\theta/2) & -\sin(\theta/2) \\ \sin(\theta/2) & \cos(\theta/2) \end{bmatrix}$

$R_z(\theta) = \exp(-iZ\theta/2) = \begin{bmatrix} \exp(-i\theta/2) & 0 \\0 & \exp(i\theta/2) \end{bmatrix}$

としたとき、$U=R_x(\theta)R_y(\theta)R_z(\theta)$ について調べよう。

$U = \begin{bmatrix} \cos(\theta/2) & -i\sin(\theta/2) \\ -i\sin(\theta/2) & \cos(\theta/2) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos(\theta/2) & -\sin(\theta/2) \\ \sin(\theta/2) & \cos(\theta/2) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \exp(-i\theta/2) & 0 \\0 & \exp(i\theta/2) \end{bmatrix}$

$U = \begin{bmatrix} \cos(\theta/2) & -i\sin(\theta/2) \\ -i\sin(\theta/2) & \cos(\theta/2) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \exp(-i\theta/2)\cos(\theta/2) & -\sin(\theta/2)\exp(i\theta/2) \\ \exp(-i\theta/2)\sin(\theta/2) & \cos(\theta/2)\exp(i\theta/2) \end{bmatrix}$

$U = \begin{bmatrix} (\cos^2(\theta/2) -i\sin^2(\theta/2))\exp(-i\theta/2) & -(1+i)\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)\exp(i\theta/2) \\ (1-i)\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)\exp(-i\theta/2) & (\cos^2(\theta/2) +i\sin^2(\theta/2))\exp(i\theta/2) \end{bmatrix}$

$c = \cos(\theta/2)$, $s = \sin(\theta/2)$ と置いて

$U = \begin{bmatrix} (c^2 -is^2)(c-is) & -(1+i)sc(c+is) \\ (1-i)sc(c-is) & (c^2 +is^2)(c+is) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} c^3-s^3-i(cs^2+c^2s) & -sc^2+s^2c-i(sc^2+s^2c) \\ sc^2-s^2c-i(sc^2+s^2c) & c^3-s^3+i(cs^2+c^2s) \end{bmatrix}$

$U=(c^3-s^3)I-isc(c+s)X-isc(c-s)Y-isc(s+c)Z$

えー、$\left(c^{3}-s^{3}\right)^{2}+s^{2}c^{2}\left(2\left(c+s\right)^{2}+\left(c-s\right)^{2}\right) = 1$ となるようで、上手くいってそうですね。

ということで、$U$ というのは、$(\cos(\theta/2)+\sin(\theta/2), \cos(\theta/2)-\sin(\theta/2), \cos(\theta/2)+\sin(\theta/2))$ 方向を軸として $\Theta = 2\cos^{-1}(\cos^3(\theta/2)- \sin^3(\theta/2))$ だけ回すようなものとなる。この最後の $\Theta$ は $0\le \theta\le \pi$ の範囲内で $\Theta \approx \theta-0.03804\sin2\theta$ としてよく近似できるようだ。