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Riemann–Lebesgueの定理

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数学演習の際に発表したRiemann–Lebesgueの定理の証明で、試しに記事を書いてみたいと思います。

まず準備としてBesselの不等式を示します。

Besselの不等式

(V,)を計量ベクトル空間、{xn}n=1NVの正規直交系とする.
この時、任意のxVに対し以下の不等式が成立する.
n=1N|xxn|2||x||2
特にNで級数は収束するので、
limNxxN=0

頑張って計算します。
0||xn=1N(xxn)xn||2=||x||22n=1N|xxn|2+n=1N|xxn|2=||x||2n=1N|xxn|2

さて本題に移ります。区間[π,π]で連続な関数全体の集合C[π,π]は、内積をfg:=ππf(x)g(x)dxと定義することで、計量ベクトル空間をなします。また、{12πeinx}nZC[π,π]の正規直交系の一つです。

Riemann-Lebesgueの定理

f(x)C[π,π]に対して、次の等式が成り立つ.
limn12πππf(x)einxdx=0

{12πeinx}nZは正規直交系なので、{12πeinx}nNも正規直交系.ゆえに, 補題より
limn12πππf(x)einxdx=limn12πππf(x)einxdx=0

省略したところもありますが、比較的簡潔に示すことができました!

投稿日:2021118
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げの
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東大理数B3 代数幾何学を勉強しています。

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