Riemann–Lebesgueの定理

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数学演習の際に発表したRiemann–Lebesgueの定理の証明で、試しに記事を書いてみたいと思います。

まず準備としてBesselの不等式を示します。

Besselの不等式

$(V, \cdot ∙ \cdot)$ を計量ベクトル空間、 ${x_{n}}_{n = 1}^{N}$ を $V$ の正規直交系とする.
この時、任意の $x \in V$ に対し以下の不等式が成立する.
$\sum_{n = 1}^{N} | x ∙ x_{n} |^{2} ≦ | | x | |^{2}$
特に $N \to \infty$ で級数は収束するので、
$lim_{N \to \infty} x ∙ x_{N} = 0$

頑張って計算します。
$0 ≦ | | x - \sum_{n = 1}^{N} (x ∙ x_{n}) x_{n} | |^{2} = | | x | |^{2} - 2 \sum_{n = 1}^{N} | x ∙ x_{n} |^{2} + \sum_{n = 1}^{N} | x ∙ x_{n} |^{2} = | | x | |^{2} - \sum_{n = 1}^{N} | x ∙ x_{n} |^{2}$

さて本題に移ります。区間 $[- π, π]$ で連続な関数全体の集合 $C [- π, π]$ は、内積を $f ∙ g := \int_{- π}^{π} f (x) \overset{―}{g (x)} d x$ と定義することで、計量ベクトル空間をなします。また、 ${\frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{i n x}}_{n \in Z}$ は $C [- π, π]$ の正規直交系の一つです。

Riemann-Lebesgueの定理

$f (x) \in C [- π, π]$ に対して、次の等式が成り立つ.
$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- π}^{π} f (x) e^{i n x} d x = 0$

${\frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{i n x}}_{n \in Z}$ は正規直交系なので、 ${\frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- i n x}}_{n \in N}$ も正規直交系.ゆえに, 補題より
$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- π}^{π} f (x) e^{i n x} d x = lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- π}^{π} f (x) \overset{―}{e^{- i n x}} d x = 0$

省略したところもありますが、比較的簡潔に示すことができました！

投稿日：2021年11月8日

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げの

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東大理数B3 代数幾何学を勉強しています。

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