数学演習の際に発表したRiemann–Lebesgueの定理の証明で、試しに記事を書いてみたいと思います。
まず準備としてBesselの不等式を示します。
(V,⋅∙⋅)を計量ベクトル空間、{xn}n=1NをVの正規直交系とする. この時、任意のx∈Vに対し以下の不等式が成立する. ∑n=1N|x∙xn|2≦||x||2特にN→∞で級数は収束するので、limN→∞x∙xN=0
頑張って計算します。0≦||x−∑n=1N(x∙xn)xn||2=||x||2−2∑n=1N|x∙xn|2+∑n=1N|x∙xn|2=||x||2−∑n=1N|x∙xn|2
さて本題に移ります。区間[−π,π]で連続な関数全体の集合C[−π,π]は、内積をf∙g:=∫−ππf(x)g(x)―dxと定義することで、計量ベクトル空間をなします。また、{12πeinx}n∈ZはC[−π,π]の正規直交系の一つです。
f(x)∈C[−π,π]に対して、次の等式が成り立つ.limn→∞12π∫−ππf(x)einxdx=0
{12πeinx}n∈Zは正規直交系なので、{12πe−inx}n∈Nも正規直交系.ゆえに, 補題よりlimn→∞12π∫−ππf(x)einxdx=limn→∞12π∫−ππf(x)e−inx―dx=0
省略したところもありますが、比較的簡潔に示すことができました!
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