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高校数学解説
文献あり

素数はthinでは無い

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thin

$A\subseteq\mathbb{N}$$ \sum_{n\in A}\frac{1}{n}<+\infty $を満たすとき,$A$はthinであるという.

素数の逆数の和は発散する.

素数を$p_1,p_2,\ldots$と書くと[1]より$p_n\sim n\log n$なので,ある$N\geq 3$があり,$n\geq N$なら$p_n\geq\frac{n\log n}{2}$である.
$$ \sum _{n\geq N}\frac{1}{p_n}\geq\frac{1}{2}\sum_{n\geq N}\frac{1}{n\log n}\geq\frac{1}{2}\int _N^{+\infty}\frac{dx}{x\log x}=\left[\log\log x\right]_{N-1}^{+\infty}=+\infty. $$

参考文献

投稿日:2021119

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usagiop
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