初めての投稿なのでお試し記事です。
Yをハウスドルフ空間とする。連続写像h:Y→Yがh2=hをみたすとき、h(Y)はYの閉集合である。
h2=hよりh(Y)={y∈Y | h(y)=y}なので、h(Y)は連続写像(h,idY):Y→Y×Yによる対角集合の引き戻しである。YがハウスドルフであることよりY×Yの対角集合は閉集合なのでh(Y)はYの閉集合である。
連続写像f:X→Yとg:Y→Xがg∘f=idXをみたし、かつYがハウスドルフならば、fは閉埋め込みである。
位相空間の間の写像が閉であるとは、閉集合を閉集合にうつすことである。
g∘f=idXよりg|f(X):f(X)→Xはf:X→f(X)の連続な逆写像なのでfは埋め込みである。h:=f∘gとすると、g∘f=idXよりh2=hであり、またf(X)=h(Y)である。命題1よりh(Y)はYの閉集合である。すなわちfの像は閉集合である。像が閉であるような埋め込みは閉埋め込みなのでこれで示された。
(ハウスドルフ空間上の)位相的ベクトル束の連続な切断は閉埋め込みである。また、C∞ベクトル束のC∞切断は閉C∞埋め込みである
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