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位相空間論の演習問題(とその簡単な応用)

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初めての投稿なのでお試し記事です。

Yをハウスドルフ空間とする。連続写像h:YYh2=hをみたすとき、h(Y)Yの閉集合である。

h2=hよりh(Y)={yY | h(y)=y}なので、h(Y)は連続写像(h,idY):YY×Yによる対角集合の引き戻しである。YがハウスドルフであることよりY×Yの対角集合は閉集合なのでh(Y)Yの閉集合である。

連続写像f:XYg:YXgf=idXをみたし、かつYがハウスドルフならば、fは閉埋め込みである。

位相空間の間の写像が閉であるとは、閉集合を閉集合にうつすことである。

gf=idXよりg|f(X):f(X)Xf:Xf(X)の連続な逆写像なのでfは埋め込みである。
h:=fgとすると、gf=idXよりh2=hであり、またf(X)=h(Y)である。命題1よりh(Y)Yの閉集合である。すなわちfの像は閉集合である。像が閉であるような埋め込みは閉埋め込みなのでこれで示された。

命題2

(ハウスドルフ空間上の)位相的ベクトル束の連続な切断は閉埋め込みである。また、Cベクトル束のC切断は閉C埋め込みである

投稿日:20211114
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