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二次関数の凸性

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行列$\mathbf{A}\in\mathbb{R}^{n\times n}$を半正定値対称行列とする.このとき,二次関数
\begin{align} f(\mathbf{x}) = \left<\mathbf{x}, \mathbf{Ax}\right>\; \colon \mathbf{R}^n\to\mathbf{R} \tag{1} \label{1} \end{align}
は凸関数である.

条件より,行列$\mathbf{A}$は半正定値であるから,任意のベクトル$\mathbf{x}\in\mathrm{R}^n$に対して
$$ \left<\mathbf{x}, \mathbf{Ax}\right> \geqq 0 $$
が成り立つ.いま,二点$\mathbf{x},\,\mathbf{y}\in\mathbb{R}^n$とスカラー$\lambda\in (0,1)$に対して,以下が成り立つ:
\begin{align} 0 &\leqq f(\lambda \mathbf{x} + (1-\lambda)\mathbf{y}) \\ &= \left< \lambda \mathbf{x} + (1-\lambda)\mathbf{y}, \mathbf{A} (\lambda \mathbf{x} + (1-\lambda)\mathbf{y})\right> \\ &= \left< \mathbf{y} + \lambda(\mathbf{x} - \mathbf{y}), \mathbf{A}(\mathbf{y} + \lambda(\mathbf{x} - \mathbf{y})) \right> \\ &= \left< \mathbf{y}, \mathbf{Ay} \right> + 2\lambda \left< \mathbf{x}-\mathbf{y}, \mathbf{Ay}\right> + \lambda^2 \left< \mathbf{x}-\mathbf{y}, \mathbf{A}(\mathbf{x}-\mathbf{y}) \right> \\ &\leqq \left< \mathbf{y}, \mathbf{Ay} \right> + 2\lambda \left< \mathbf{x}-\mathbf{y}, \mathbf{Ay}\right> + \lambda \left< \mathbf{x}-\mathbf{y}, \mathbf{A}(\mathbf{x}-\mathbf{y}) \right> \\ &= \left< \mathbf{y}, \mathbf{Ay} \right> + \lambda \left< \mathbf{x}-\mathbf{y}, \mathbf{Ay}\right> + \lambda \left< \mathbf{x}-\mathbf{y}, \mathbf{Ax} \right> \\ &= \left< \mathbf{y}, \mathbf{Ay} \right> + \lambda \left< -\mathbf{y}, \mathbf{Ay}\right> + \lambda \left< \mathbf{x}, \mathbf{Ax} \right> \\ &= \lambda \left< \mathbf{x}, \mathbf{Ax} \right> + (1 - \lambda) \left< \mathbf{y}, \mathbf{Ay} \right> \\ &= \lambda f(\mathbf{x}) + (1-\lambda)f(\mathbf{y}). \end{align}
ここで,第4行目の等号は行列$\mathbf{A}$が対称であることより$\left< \mathbf{x}, \mathbf{Ay} \right>=\left< \mathbf{y}, \mathbf{Ax} \right>$ゆえ成り立つ.第5行目の不等号は$0<\lambda <1$より$\lambda^2 < \lambda$であることと行列$\mathbf{A}$の半正定値性より成り立つ.したがって,式(\ref{1})で定義される関数$f$は凸関数である.

投稿日:20211115

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みるか
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