二次関数の凸性

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行列 $A \in R^{n \times n}$ を半正定値対称行列とする．このとき，二次関数
$\begin{array}{r} (1) & f (x) = ⟨ x, Ax ⟩ : R^{n} \to R \end{array}$
は凸関数である．

条件より，行列 $A$ は半正定値であるから，任意のベクトル $x \in R^{n}$ に対して
$⟨ x, Ax ⟩ ≧ 0$
が成り立つ．いま，二点 $x, y \in R^{n}$ とスカラー $λ \in (0, 1)$ に対して，以下が成り立つ:
$\begin{aligned} 0 & ≦ f (λ x + (1 - λ) y) \\ = ⟨ λ x + (1 - λ) y, A (λ x + (1 - λ) y) ⟩ \\ = ⟨ y + λ (x - y), A (y + λ (x - y)) ⟩ \\ = ⟨ y, Ay ⟩ + 2 λ ⟨ x - y, Ay ⟩ + λ^{2} ⟨ x - y, A (x - y) ⟩ \\ ≦ ⟨ y, Ay ⟩ + 2 λ ⟨ x - y, Ay ⟩ + λ ⟨ x - y, A (x - y) ⟩ \\ = ⟨ y, Ay ⟩ + λ ⟨ x - y, Ay ⟩ + λ ⟨ x - y, Ax ⟩ \\ = ⟨ y, Ay ⟩ + λ ⟨ - y, Ay ⟩ + λ ⟨ x, Ax ⟩ \\ = λ ⟨ x, Ax ⟩ + (1 - λ) ⟨ y, Ay ⟩ \\ = λ f (x) + (1 - λ) f (y) . \end{aligned}$
ここで，第4行目の等号は行列 $A$ が対称であることより $⟨ x, Ay ⟩ = ⟨ y, Ax ⟩$ ゆえ成り立つ．第5行目の不等号は $0 < λ < 1$ より $λ^{2} < λ$ であることと行列 $A$ の半正定値性より成り立つ．したがって，式( $1$ )で定義される関数 $f$ は凸関数である．

投稿日：2021年11月15日

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