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春合宿2017年第7問について

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初めまして、Isoと申します。記事を制作することは初めてということもあり、今回は練習も兼ねて数学オリンピックの問題の解説をしてみたいと思います。今回の問題は日本数学オリンピックの代表選抜問題です。日本のオリジナルの問題であり、公式には解答が公表されていないので参考になれば幸いです。

問題

n4+10n2+2kが平方数となるような,正の整数の組(n,k)を全て求めよ.

解答

n4+10n2+2k=N2(Nは正の整数)とおく. まずk5の場合を考える.

以下,正の整数mを素因数分解したときの2の指数をv2(m)と表すこととする.

ここでnが奇数であるとすると,4を法として
N2n4+10n2+2k1+10+03 となりこれは矛盾.

よってnは偶数であり,v2(n4)>v2(10n2)を得る.

もしv2(2k)>v2(10n2)であるとすると,2v2(N)=v2(N2)=v2(n4+10n2+2k)=v2(10n2)=2v2(n)+1 となり矛盾.

したがってk=v2(2k)v2(10n2)=v2(2n2)となり,2n22k(A)を得る.

一方で,k5のとき2k>25よりN2=n4+10n2+2k>(n2+5)2であり,Nn2+6が成立する. このとき n4+10n2+2k=N2(n2+6)2であり,2k2n2+36を得るが,これはAに反する.

以上よりk4がわかる.

このとき2k<25なのでN2=n4+10n2+2k<(n2+5)2よってNn2+4を得る.

したがってn4+10n2+2k=N2(n2+4)2であり,2n2+2k16を得る.

これを満たす正の整数(n,k)の組は(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)のみであり,試すと(n,k)=(2,3)のみ適することがわかる.

以上より,求める組は(n,k)=(2,3)である.

投稿日:2020118
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投稿者

Iso
Iso
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1897
主に数学オリンピックの勉強をしています。数学オリンピックでは整数分野が好きです。よろしくお願いします

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