初めまして、Isoと申します。記事を制作することは初めてということもあり、今回は練習も兼ねて数学オリンピックの問題の解説をしてみたいと思います。今回の問題は日本数学オリンピックの代表選抜問題です。日本のオリジナルの問題であり、公式には解答が公表されていないので参考になれば幸いです。
問題
が平方数となるような,正の整数の組を全て求めよ.
解答
(は正の整数)とおく. まずの場合を考える.
以下,正の整数を素因数分解したときのの指数をと表すこととする.
ここでが奇数であるとすると,を法として
となりこれは矛盾.
よっては偶数であり,を得る.
もしであるとすると, となり矛盾.
したがってとなり,を得る.
一方で,のときよりであり,が成立する. このとき であり,を得るが,これはに反する.
以上よりがわかる.
このときなのでよってを得る.
したがってであり,を得る.
これを満たす正の整数の組はのみであり,試すとのみ適することがわかる.
以上より,求める組はである.