春合宿2017年第7問について

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初めまして、Isoと申します。記事を制作することは初めてということもあり、今回は練習も兼ねて数学オリンピックの問題の解説をしてみたいと思います。今回の問題は日本数学オリンピックの代表選抜問題です。日本のオリジナルの問題であり、公式には解答が公表されていないので参考になれば幸いです。

問題

$n^{4} + 10 n^{2} + 2^{k}$ が平方数となるような,正の整数の組 $(n, k)$ を全て求めよ.

解答

$n^{4} + 10 n^{2} + 2^{k} = N^{2}$ ( $N$ は正の整数)とおく. まず $k \geq 5$ の場合を考える.

以下,正の整数 $m$ を素因数分解したときの $2$ の指数を $v_{2} (m)$ と表すこととする.

ここで $n$ が奇数であるとすると, $4$ を法として
$N^{2} \equiv n^{4} + 10 n^{2} + 2^{k} \equiv 1 + 10 + 0 \equiv 3$ となりこれは矛盾.

よって $n$ は偶数であり, $v_{2} (n^{4}) > v_{2} (10 n^{2})$ を得る.

もし $v_{2} (2^{k}) > v_{2} (10 n^{2})$ であるとすると， $2 v_{2} (N) = v_{2} (N^{2}) = v_{2} (n^{4} + 10 n^{2} + 2^{k}) = v_{2} (10 n^{2}) = 2 v_{2} (n) + 1$ となり矛盾.

したがって $k = v_{2} (2^{k}) \leq v_{2} (10 n^{2}) = v_{2} (2 n^{2})$ となり， $2 n^{2} \geq 2^{k} (\dots A)$ を得る.

一方で, $k \geq 5$ のとき $2^{k} > 25$ より $N^{2} = n^{4} + 10 n^{2} + 2^{k} > (n^{2} + 5)^{2}$ であり， $N \geq n^{2} + 6$ が成立する. このとき $n^{4} + 10 n^{2} + 2^{k} = N^{2} \geq (n^{2} + 6)^{2}$ であり, $2^{k} \geq 2 n^{2} + 36$ を得るが,これは $A$ に反する.