以下において(X,d):距離空間とする。definitions of symbol・「点pを中心とする半径rのボール」:r∈R,p∈Xについて、Br(p):={x∈X|d(x,p)<r}・「集合Aの直径」:A(⊆X)について、δ(A):=sup{d(x,y)|x∈A,y∈A}
definitions of sentence・(xn)n∈NはX上のコーシー列:・A(⊆X)が全有界:⇔∀ϵ>0,∃p1,p2,⋯pn∈X,⋃i=0nBϵ(pi)⊆A・A(⊆X)が有界:⇔∀ϵ>0,∃p1,p2,⋯pn∈X,⋃i=0nBϵ(pi)⊆A・UがAを被覆する:⇔・A(⊆X)がコンパクト:⇔UがAを被覆するならば、Aを被覆するUの有限部分集合{U1,U2,⋯,Un}が存在する。
propositions・X上のコーシー列(xn)n∈Nが収束する部分列を持つならば、(xn)n∈Nは収束列。・どんなp∈Xについても、⋃i=0∞Bi(p)=Xである。・A(⊆X)がコンパクトならばAは全有界。
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