距離空間のプチ命題下書き

以下において$(X,d)$:距離空間とする。
definitions of symbol
・「点$p$を中心とする半径$r$のボール」:$r\in \mathbb{R},p\in X$について、$ B_r(p):=\{x\in X|d(x,p)< r\}$
・「集合Aの直径」:$A(\subseteq X)$について、$\delta(A):=sup\{d(x,y)|x\in A,y\in A\}$

definitions of sentence
・$(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$は$X$上のコーシー列:
・$A(\subseteq X)$が全有界$:\Leftrightarrow \forall \epsilon >0,\exists p_1,p_2, \cdots p_n \in X,\displaystyle \bigcup_{i = 0}^n B_\epsilon(p_i) \subseteq A$
・$A(\subseteq X)$が有界$:\Leftrightarrow \forall \epsilon >0,\exists p_1,p_2, \cdots p_n \in X,\displaystyle \bigcup_{i = 0}^n B_\epsilon(p_i) \subseteq A$
・$\mathcal{U}$が$A$を被覆する$:\Leftrightarrow $
・$A(\subseteq X)$がコンパクト$:\Leftrightarrow $$\mathcal{U}$が$A$を被覆するならば、$A$を被覆する$\mathcal{U}$の有限部分集合$\{U_1,U_2,\cdots,U_n\}$が存在する。

propositions
・$X$上のコーシー列$(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$が収束する部分列を持つならば、$(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$は収束列。
・どんな$p\in X$についても、$\displaystyle \bigcup_{i = 0}^{\infty } B_i(p) = X$である。
・$A(\subseteq X)$がコンパクトならば$A$は全有界。