集合論プチ命題1

記号の定義
・$A_i($ただし$i\in {\mathbb{N}}_{\ge 0}),B$:集合
・${\mathbb{N}}_{\ge 0}:0を含め、自然数を集めてきた集合$
・${\displaystyle \bigcup _{i\in {\mathbb{N}}_{\ge 0}}^{}{A}_i:=\{a|\mathrm{\exists }i\in {\mathbb{N}}_{\ge 0},a\in A_i\}}$

プチ命題1
・$\mathrm{\forall }i\in {\mathbb{N}}_{\ge 0},A_i\subseteq B$ならば、${\displaystyle \bigcup _{i\in {\mathbb{N}}_{\ge 0}}^{}{A}_i\subseteq B}$

プチ命題1証明
$a\in {\displaystyle \bigcup _{i\in {\mathbb{N}}_{\ge 0}}^{}{A}_i}$から$a\in B$ を導けば良い。
$a\in {\displaystyle \bigcup _{i\in {\mathbb{N}}_{\ge 0}}^{}{A}_i}$とすると${\displaystyle \bigcup _{i\in {\mathbb{N}}_{\ge 0}}^{}{A}_i}$の定義より、ある$n\in {\mathbb{N}}_{\ge 0}$を取って来て$a\in A_n$と置ける。仮定より$A_n\subseteq B$なので、$A_n$の元はどれも$B$の元。よって$a\in B$ $◻$