集合論プチ命題1

記号の定義
・$A_i\ ($ただし$i \in \mathbb{N}_{ \geq 0})\ , \ B$:集合
・$\mathbb{N}_{ \geq 0}:0を含め、自然数を集めてきた集合$
・$\displaystyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}_{ \geq 0}}^{} A_i :=\{a \ | \ \exists i \in \mathbb{N}_{ \geq 0}\ ,\ a \in A_i \}$

プチ命題1
・$\forall i \in \mathbb{N}_{ \geq 0},A_i \subseteq B$ならば、$\displaystyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}_{ \geq 0}}^{} A_i \subseteq B$

プチ命題1証明
$a \in \displaystyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}_{ \geq 0}}^{} A_i$から$a \in B$ を導けば良い。
$a \in \displaystyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}_{ \geq 0}}^{} A_i$とすると$\displaystyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}_{ \geq 0}}^{} A_i$の定義より、ある$n\in \mathbb{N}_{ \geq 0}$を取って来て$a\in A_n$と置ける。仮定より$A_n \subseteq B$なので、$A_n$の元はどれも$B$の元。よって$a \in B$ $\square $