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プチ小技集:位数に関する一公式

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(有限)群を考える上で,位数はとても重要な情報です.

位数

Gの要素の数#GG位数という.gGが生成する部分群gの位数をg位数といい,ordgで表す.

要素の位数について

Gの要素gの位数ordgは次式により求められる:
ordg=min{n>0gn=1}.

証明は省きますが,有限群とその部分群の位数については次の定理が基本的かつ重要です.

Lagrangeの定理

Gを有限群,HGの部分群とするとき,#H#Gを割り切る.

群には演算(積)が定義されています.Gの要素x,yが与えられたとき,両者の位数ordxおよびordyと積xyの位数ord(xy)とが関連づけられれば有り難いものです.今回紹介する定理は,この類の公式として汎用性の高いものです.

今回の主定理

Gの2要素x,yの位数はともに有限で,かつ
(i) xyは可換,すなわちxy=yx
(ii) xy={1}
を充たすとき,ord(xy)=LCM {ordx,ordy}が成り立つ.

ordxordyが互いに素の場合

ordxordyが互いに素の場合には,以下のようになります:

  1. 上記条件 (ii) は自動的に成り立ちますxyxおよびyの共通の部分群なので,Lagrangeの定理によりその位数はordxordyの公約数です.ordxordyが互いに素ならば両者の公約数は1しかありませんから,(ii) は成り立ちます.
  2. 右辺LCM {ordx,ordy}は積ordxordyに他なりません.特に,結論は積の位数が位数の積に等しいと言えます.

m=ord{(xy)}, =LCM {ordx,ordy}とします.

xyは可換なので(xy)=xy,ここでordxordyの公倍数ゆえx=y=1,したがって(xy)=1です.公式1によりmを得ます.

(xy)n=1なる整数n>0を考えると,可換性から1=(xy)n=xnyn,これを整理してxn=ynxyを得ます.これはxn=yn=1を意味し,特にnordxordyの公倍数です.(xy)n=1なる整数n>0は総て以上なので,mを得ます.

投稿日:20211117
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龍孫江
龍孫江
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代数学(群論・環論・体論)の問題を解説するYouTubeチャンネル「龍孫江の数学日誌」を運営しております(リンクからどうぞ).YouTubeでは扱いきれないまとまった記事を書いていきたいと思います.どうぞご贔屓に.

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