(有限)群を考える上で,位数はとても重要な情報です.
位数
群の要素の数をの位数という.が生成する部分群の位数をの位数といい,で表す.
証明は省きますが,有限群とその部分群の位数については次の定理が基本的かつ重要です.
群には演算(積)が定義されています.の要素,が与えられたとき,両者の位数およびと積の位数とが関連づけられれば有り難いものです.今回紹介する定理は,この類の公式として汎用性の高いものです.
今回の主定理
群の2要素の位数はともに有限で,かつ
(i) とは可換,すなわち;
(ii) ;
を充たすとき,が成り立つ.
とが互いに素の場合
とが互いに素の場合には,以下のようになります:
- 上記条件 (ii) は自動的に成り立ちます.はおよびの共通の部分群なので,Lagrangeの定理によりその位数はとの公約数です.とが互いに素ならば両者の公約数はしかありませんから,(ii) は成り立ちます.
- 右辺は積に他なりません.特に,結論は積の位数が位数の積に等しいと言えます.
, とします.
とは可換なので,ここではとの公倍数ゆえ,したがってです.公式1によりを得ます.
なる整数を考えると,可換性から,これを整理してを得ます.これはを意味し,特にはとの公倍数です.なる整数は総て以上なので,を得ます.