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Siegelの補題

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はじめに

　この記事では超越数論でしばしば使われる(らしい)Siegel(ジーゲル)の補題というものを紹介していきます。

Siegelの補題：整数ver.

　$n$個の未知数$x_j$に関する整数係数の$m\;(< n)$連方程式
$$\sum^n_{j=1}a_{i,j}x_j=0\quad(i=1,2,\ldots,m)$$
に対し
$$|x_j|\leq2(2nA)^{\frac m{n-m}}\quad(j=1,2,\ldots,n)$$
を満たすような非自明な整数解(つまりある$j$について$x_j\neq0$)が存在する。ただし
$$A=\max_{i,j}|a_{i,j}|$$
とした。

　$B=(2nA)^{\frac m{n-m}}$とし、任意に$n$個の整数$y_j\;(|y_j|\leq B)$を取ると$A$の取り方から
$$\l|\sum^n_{j=1}a_{i,j}y_j\r|\leq\sum^n_{j=1}|a_{i,j}y_j|\leq nAB$$
が成り立つ。このとき$n$個の整数の組$y_j\;(j=1,2,\ldots,n)$の取り方は全部で$(2\lfloor B\rfloor+1)^n$通りあるが、対応する$m$個の整数の組
$$\sum^n_{j=1}a_{i,j}y_j\quad(i=1,2,\ldots,m)$$
の取り得る値は高々$(2\lfloor nAB\rfloor+1)^m$通りである。
　しかし$B>1$に注意すると
$$(2\lfloor nAB\rfloor+1)^{\frac mn}\leq(2nAB+1)^{\frac mn} =(B^{\frac nm}+1)^{\frac mn}< B+1\leq 2\lfloor B\rfloor+1$$
すなわち
$$(2\lfloor nAB\rfloor+1)^m<(2\lfloor B\rfloor+1)^n$$
が成り立つので、鳩ノ巣原理よりある異なる組$y_j,y'_j$に対して
$$\sum^n_{j=1}a_{i,j}y_j=\sum^n_{j=1}a_{i,j}y'_j\quad(i=1,2,\ldots,m)$$
が成り立たなくてはならず、このとき$x_j=y_j-y'_j$とおくとこれが
$$|x_j|\leq|y_j|+|y_j'|\leq2B$$
を満たすような非自明な整数解となる。

Siegelの補題：代数的整数ver.

　代数的数$\a$に対して、その任意の共役元の絶対値の内最大のものを$\a$の高さと言い$H(\a)$と表す。
　また$d\a$が代数的整数となるような自然数$d$であって最小のものを$\a$の分母と言い$d(\a)$と表す。代数的数$\a_1,\a_2,\ldots,\a_n$の公分母と言ったときには
$$d=\lcm(d(\a_1),d(a_2),\ldots,d(\a_n))$$
のことを指すものとする。

　$K$を代数体、$\O_K$をその整数環とし、$n$個の未知数$x_j$に関する$\O_K$係数の$m\;(< n)$連方程式
$$\sum^n_{j=1}\a_{i,j}x_j=0\quad(i=1,2,\ldots,m)$$
を考えたとき、$K$のみに依るある定数$C>0$が存在して
$$H(x_j)\leq C(CnA)^{\frac m{n-m}}\quad(j=1,2,\ldots,n)$$
を満たすような非自明な$\O_K$上の解が存在する。ただし
$$A=\max_{i,j}H(\a_{i,j})$$
とした。

　$\o_1,\o_2,\ldots,\o_t\;(t=[K:\Q])$を$\O_K$の整数底、$\s_1,\s_2,\ldots,\s_t$を$K$の共役写像全体とする。このとき$\a_{i,j}\in\O_K$および$\o_k\o_l\in\O_K$より
$$\a_{i,j}=\sum^t_{k=1}a_{i,j,k}\o_k,\quad\o_k\o_l=\sum^t_{s=1}c_{k,l,s}\o_s$$
となるような整数$a_{i,j,k},c_{k,l,s}$が存在して、また$x_j$についても
$$x_j=\sum^t_{l=1}y_{j,l}\o_l$$
と展開して$x_j$の代わりに$y_{j,l}$についての方程式の整数解を考える。このとき方程式は
\begin{eqnarray} \sum^n_{j=1}\a_{i,j}x_j &=&\sum^n_{j=1}\sum^t_{k=1}\sum^t_{l=1}a_{i,j,k}y_{j,l}\o_k\o_l \\&=&\sum^t_{s=1}\l(\sum^n_{j=1}\sum^t_{k=1}\sum^t_{l=1}a_{i,j,k}c_{k,l,s}y_{j,l}\r)\o_s=0 \end{eqnarray}
となり、$\o_s$の$\Q$-線形独立性からこれは$mt$連方程式
$$\sum^n_{j=1}\sum^t_{k=1}\sum^t_{l=1}a_{i,j,k}c_{k,l,s}y_{j,l}=0\quad(1\leq i\leq m,\;1\leq s\leq t)$$
に帰着できる。
　いま
$$\a_{i,j}=\sum^t_{k=1}a_{i,j,k}\o_k$$
の両辺に共役写像を作用させることで
$$\begin{pmatrix} \s_1(\a_{i,j})\\\s_2(\a_{i,j})\\\vdots\\\s_t(\a_{i,j}) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \s_1(\o_1)&\s_1(\o_2)&\cdots&\s_1(\o_t) \\\s_2(\o_1)&\s_2(\o_2)&\cdots&\s_2(\o_t) \\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\\s_t(\o_1)&\s_t(\o_2)&\cdots&\s_t(\o_t) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{i,j,1}\\a_{i,j,2}\\\vdots\\a_{i,j,t} \end{pmatrix}$$
が成り立つ。つまり$B=(\s_i(\o_j))_{1\leq i,j\leq t}$に対して
$$B^{-1}=(b_{i,j})_{i,j},\quad C_0=\max_{i,j}|b_{i,j}|$$
とおくと
$$|a_{i,j,k}|=\l|\sum^t_{l=1}b_{k,l}\s_l(\a_{i,j})\r| \leq\sum^t_{l=1}|b_{k,l}\s_l(\a_{i,j})|=tC_0A$$
が成り立つ。$c_{k,l,s}$についても同様に
$$|c_{k,l,s}|\leq\sum^t_{u=1}|b_{s,u}\s_u(\o_k\o_l)|\leq tC_0C_1^2 \quad\l(C_1=\max_{1\leq s\leq t}H(\o_s)\r)$$
と評価できるので、$y_{j,l}$についての方程式に対して整数ver.のSiegelの補題を適用すると
$$|y_{j,l}|\leq2(2nt(tC_0C_1)^2A)^{\frac{mt}{nt-mt}}=2(2nt(tC_0C_1)^2A)^{\frac m{n-m}}$$
なる非自明な整数解が存在することになり、$x_j$は任意の共役写像$\s$に対し
$$|\s(x_j)|\leq\sum^t_{l=1}|y_{j,l}\s(\o_j)| \leq 2tC_1(2nt(tC_0C_1)^2A)^{\frac m{n-m}}$$
を満たすような$\O_K$の元となる。
　ここで$t,C_0,C_1$は$K$(の整数底の選び方)のみに依って決まる定数であることに注意すると、$K$のみに依る適当な定数$C$が存在して
$$H(x_j)\leq C(CnA)^{\frac m{n-m}}$$
と評価できることがわかる。

　$n$個の未知数$x_j$に関する$K$係数の$m\;(< n)$連方程式
$$\sum^n_{j=1}\a_{i,j}x_j=0\quad(i=1,2,\ldots,m)$$
を考えたとき、$K$のみに依るある定数$C>0$が存在して
$$H(x_j)\leq C(CndA)^{\frac m{n-m}}\quad(j=1,\ldots,n)$$
を満たすような非自明な$\O_K$上の解が存在する。ただし
$$A=\max_{i,j}H(\a_{i,j}),\quad d=\max_{1\leq i\leq m}d_i,\quad d_i=\lcm\big(d(\a_{i,1}),d(\a_{i,2}),\ldots,d(\a_{i,j})\big)$$
とした。

$$\max_{i,j}H(d_i\a_{i,j})=\max_{i,j}d_iH(\a_{i,j})\leq d\max_{i,j}H(\a_{i,j})$$
に注意して$\O_K$係数方程式
$$\sum^n_{j=1}(d_i\a_{i,j})x_j=0\quad(i=1,2,\ldots,m)$$
に対してSiegelの補題を適用することでわかる。

　以上です。では。