Siegelの補題

　$B=(2nA{)}^{\frac{m}{n-m}}$とし、任意に$n$個の整数$y_j(|y_j|\le B)$を取ると$A$の取り方から
$$\left|\sum _{j=1}^n{a}_{i,j}{y}_j\right|\le \sum _{j=1}^n|a_{i,j}{y}_j|\le nAB$$
が成り立つ。このとき$n$個の整数の組$y_j(j=1,2,\dots ,n)$の取り方は全部で$(2\lfloor B\rfloor +1{)}^n$通りあるが、対応する$m$個の整数の組
$$\sum _{j=1}^n{a}_{i,j}{y}_j(i=1,2,\dots ,m)$$
の取り得る値は高々$(2\lfloor nAB\rfloor +1{)}^m$通りである。
　しかし$B>1$に注意すると
$$(2\lfloor nAB\rfloor +1{)}^{\frac{m}{n}}\le (2nAB+1{)}^{\frac{m}{n}}=(B^{\frac{n}{m}}+1{)}^{\frac{m}{n}}<B+1\le 2\lfloor B\rfloor +1$$
すなわち
$$(2\lfloor nAB\rfloor +1{)}^m<(2\lfloor B\rfloor +1{)}^n$$
が成り立つので、鳩ノ巣原理よりある異なる組$y_j,y_j^{\prime }$に対して
$$\sum _{j=1}^n{a}_{i,j}{y}_j=\sum _{j=1}^n{a}_{i,j}{y}_j^{\prime }(i=1,2,\dots ,m)$$
が成り立たなくてはならず、このとき$x_j=y_j-y_j^{\prime }$とおくとこれが
$$|x_j|\le |y_j|+|y_j^{\prime }|\le 2B$$
を満たすような非自明な整数解となる。

　${\omega }_1,{\omega }_2,\dots ,{\omega }_t(t=[K:\mathbb{Q}])$を${\mathcal{O}}_K$の整数底、${\sigma }_1,{\sigma }_2,\dots ,{\sigma }_t$を$K$の共役写像全体とする。このとき${\alpha }_{i,j}\in {\mathcal{O}}_K$および${\omega }_k{\omega }_l\in {\mathcal{O}}_K$より
$${\alpha }_{i,j}=\sum _{k=1}^t{a}_{i,j,k}{\omega }_k,{\omega }_k{\omega }_l=\sum _{s=1}^t{c}_{k,l,s}{\omega }_s$$
となるような整数$a_{i,j,k},c_{k,l,s}$が存在して、また$x_j$についても
$$x_j=\sum _{l=1}^t{y}_{j,l}{\omega }_l$$
と展開して$x_j$の代わりに$y_{j,l}$についての方程式の整数解を考える。このとき方程式は
$$\begin{array}{rcl}\sum _{j=1}^n{\alpha }_{i,j}{x}_j& =& \sum _{j=1}^n\sum _{k=1}^t\sum _{l=1}^t{a}_{i,j,k}{y}_{j,l}{\omega }_k{\omega }_l\\ & =& \sum _{s=1}^t\left(\sum _{j=1}^n\sum _{k=1}^t\sum _{l=1}^t{a}_{i,j,k}{c}_{k,l,s}{y}_{j,l}\right){\omega }_s=0\end{array}$$
となり、${\omega }_s$の$\mathbb{Q}$-線形独立性からこれは$mt$連方程式
$$\sum _{j=1}^n\sum _{k=1}^t\sum _{l=1}^t{a}_{i,j,k}{c}_{k,l,s}{y}_{j,l}=0(1\le i\le m,1\le s\le t)$$
に帰着できる。
　いま
$${\alpha }_{i,j}=\sum _{k=1}^t{a}_{i,j,k}{\omega }_k$$
の両辺に共役写像を作用させることで
$$\left(\begin{array}{c}{\sigma }_1({\alpha }_{i,j})\\ {\sigma }_2({\alpha }_{i,j})\\ ⋮\\ {\sigma }_t({\alpha }_{i,j})\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{\sigma }_1({\omega }_1)& {\sigma }_1({\omega }_2)& \cdots & {\sigma }_1({\omega }_t)\\ {\sigma }_2({\omega }_1)& {\sigma }_2({\omega }_2)& \cdots & {\sigma }_2({\omega }_t)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\sigma }_t({\omega }_1)& {\sigma }_t({\omega }_2)& \cdots & {\sigma }_t({\omega }_t)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{a}_{i,j,1}\\ a_{i,j,2}\\ ⋮\\ a_{i,j,t}\end{array}\right)$$
が成り立つ。つまり$B=({\sigma }_i({\omega }_j){)}_{1\le i,j\le t}$に対して
$$B^{-1}=(b_{i,j}{)}_{i,j},C_0=\underset{i,j}{max}|b_{i,j}|$$
とおくと
$$|a_{i,j,k}|=|\sum _{l=1}^t{b}_{k,l}{\sigma }_l({\alpha }_{i,j})|\le \sum _{l=1}^t|b_{k,l}{\sigma }_l({\alpha }_{i,j})|=t{C}_{0}A$$
が成り立つ。$c_{k,l,s}$についても同様に
$$|c_{k,l,s}|\le \sum _{u=1}^t|b_{s,u}{\sigma }_u({\omega }_k{\omega }_l)|\le t{C}_0{C}_1^2(C_1=\underset{1\le s\le t}{max}H({\omega }_s))$$
と評価できるので、$y_{j,l}$についての方程式に対して整数ver.のSiegelの補題を適用すると
$$|y_{j,l}|\le 2(2nt(t{C}_0{C}_1{)}^{2}A{)}^{\frac{mt}{nt-mt}}=2(2nt(t{C}_0{C}_1{)}^{2}A{)}^{\frac{m}{n-m}}$$
なる非自明な整数解が存在することになり、$x_j$は任意の共役写像$\sigma$に対し
$$|\sigma (x_j)|\le \sum _{l=1}^t|y_{j,l}\sigma ({\omega }_j)|\le 2t{C}_1(2nt(t{C}_0{C}_1{)}^{2}A{)}^{\frac{m}{n-m}}$$
を満たすような${\mathcal{O}}_K$の元となる。
　ここで$t,C_0,C_1$は$K$(の整数底の選び方)のみに依って決まる定数であることに注意すると、$K$のみに依る適当な定数$C$が存在して
$$H(x_j)\le C(CnA{)}^{\frac{m}{n-m}}$$
と評価できることがわかる。

$$\underset{i,j}{max}H(d_i{\alpha }_{i,j})=\underset{i,j}{max}{d}_{i}H({\alpha }_{i,j})\le d\underset{i,j}{max}H({\alpha }_{i,j})$$
に注意して${\mathcal{O}}_K$係数方程式
$$\sum _{j=1}^n(d_i{\alpha }_{i,j})x_j=0(i=1,2,\dots ,m)$$
に対してSiegelの補題を適用することでわかる。