5
大学数学基礎解説
文献あり

多重ゼータ値[2]

146
0
$$\newcommand{AMZV}[0]{{\sf AMZV}} \newcommand{bm}[0]{\boldsymbol} \newcommand{dep}[0]{{\rm dep}} \newcommand{ds}[0]{\displaystyle} \newcommand{H}[0]{{\frak H}} \newcommand{I}[0]{{\cal I}} \newcommand{ol}[1]{\overline{#1}} $$

一様収束性の議論とかはいちいち書くのが面倒なので記事内ではしていませんが、級数と積分の交換がすべて正しく行われていることは確認済みです。

$\ds\mathbb{C}^1:=\{z\ \vert \ z\in\mathbb{C},|z|=1\},{\bm k}\in\coprod_i\mathbb{Z}_{>0}^i,{\bm a}\in\coprod_i(\mathbb{C}^1)^i$ とする。
$$\zeta({\bm k}):=\sum_{0< n_1<\cdots< n_i}\frac{1}{{\bm n}^{\bm k}}$$
$$\zeta({\bm k})[x]:=\sum_{0< n_1<\cdots< n_i}\frac{1}{{\bm n}^{\bm k}}x^{n_i}$$
$$L_{\bm k}({\bm a}):=\sum_{0< n_1<\cdots< n_i}\frac{{\bm a}^{\bm n}}{{\bm n}^{\bm k}}$$
$$L_{\bm k}({\bm a})[x]:=\sum_{0< n_1<\cdots< n_i}\frac{{\bm a}^{\bm n}}{{\bm n}^{\bm k}}x^{n_i}$$

上は多重$\zeta$値(Multiple Zeta Value,MZV)と多重$L$値(Multiple L Value,MLV)の定義である。

明らかに$L_{\bm k}({\bm 1})=\zeta({\bm k})$である。
また、$\bm a$の要素が$\ds\zeta_N=\exp\left(\frac{2\pi i}{N}\right)$の冪のみであるとき、これをclass$N$のMLVという。特に$N=2$のときはAlternating Multiple Zeta Value(日本語訳はわからない)といって、AMZVと略す。
たとえば$\bm k=(1,1,2),\bm a=(1,-1,1)$のとき、$L_{\bm k}({\bm a})=\zeta(1,\ol1,2)$となる。

Hoffman algebra

$\ds a=\frac{dx}{x},b_i=\frac{dx}{\zeta_N^{-i}-x},X=\{a,b_0,\cdots,b_{N-1}\}$とおく。$X$$\mathbb{Q}$上張る非可換多項式代数を${\frak H}_N$とおく。

反復積分を以下のように再帰的に定義する。
$$\int_a^bf_1(x)dx\cdots f_m(x)dx=\int_a^bf_1(x)dx\cdots f_{m-1}(x)dx\int_0^{x}f_m(u)du$$

$z_{k,i}=a^{k-1}b_i\in\H_N,\zeta_N^{i_n}=\mu_n$とする。このとき、class$N$のMLVは反復積分を用いて以下のように表される。
$$L_{k_1,\cdots,k_m}(\mu_1,\cdots,\mu_m)=\int_0^1z_{k_m,i_m}z_{k_{m-1},i_m+i_{m-1}}\cdots z_{k_1,i_m+\cdots +i_1}$$

depth1,weight1の場合

$$L_{1}(\mu_1)[x]=\int_0^xz_{1,i_1}$$

以下の証明で$x$$0< x<1$を満たす実数とする。

\begin{align} L_1(\mu_1)[x]&=\sum_{0< n}\frac{\mu_1^n}{n}x^n \\ &=\sum_{0< n}\mu_1^n\int_0^xt^{n-1}dt \\ &=\int_0^x\sum_{0< n}\mu_1^nt^{n-1}dt \\ &=\int_0^x\mu_1\sum_{0\leq n}(\mu_1t)^ndt \\ &=\int_0^x\frac{dt}{\mu_1^{-1}-t} \\ &=\int_0^xz_{1,i_1} \end{align}

$$L_{k_1,\cdots,k_m+1}(\mu_1,\cdots,\mu_m)[x]=\int_0^x\frac{dt}{t}L_{k_1,\cdots,k_m}(\mu_1,\cdots,\mu_m)[t]$$

\begin{align} L_{k_1,\cdots,k_m+1}(\mu_1,\cdots,\mu_m)[x]&=\sum_{0< n_1<\cdots< n_m}\frac{\mu_1^{n_1}\cdots\mu_m^{n_m}}{n_1^{k_1}\cdots n_m^{k_m}}\frac{x^{n_m}}{n_m} \\ &=\sum_{0< n_1<\cdots< n_m}\frac{\mu_1^{n_1}\cdots\mu_m^{n_m}}{n_1^{k_1}\cdots n_m^{k_m}}\int_0^xt^{n_m-1}dt \\ &=\int_0^x\sum_{0< n_1<\cdots< n_m}\frac{\mu_1^{n_1}\cdots\mu_m^{n_m}}{n_1^{k_1}\cdots n_m^{k_m}}t^{n_m-1}dt \\ &=\int_0^x\frac{dt}{t}L_{k_1,\cdots,k_m}(\mu_1,\cdots,\mu_m)[t] \end{align}

$$L_{k_1,\cdots,k_m,1}(\mu_1,\cdots,\mu_m,\mu_{m+1})[x]=\int_0^x\frac{dt}{\mu_{m+1}^{-1}-t}L_{k_1,\cdots,k_m}(\mu_1,\cdots,\mu_m\mu_{m+1})[t]$$

\begin{align} L_{k_1,\cdots,k_,1}(\mu_1,\cdots,\mu_m,\mu_{m+1})[x]&=\sum_{0< n_1<\cdots< n_{m+1}}\frac{\mu_1^{n_1}\cdots\mu_m^{n_m}\mu_{m+1}^{n_{m+1}}}{n_1^{k_1}\cdots n_m^{k_m}}\frac{x^{n_{m+1}}}{n_{m+1}} \\ &=\sum_{0< n_1<\cdots< n_{m+1}}\frac{\mu_1^{n_1}\cdots\mu_m^{n_m}}{n_1^{k_1}\cdots n_m^{k_m}}\mu_{m+1}^{n_{m+1}}\int_0^xt^{n_{m+1}-1}dt \\ &=\int_0^x\sum_{0< n_1<\cdots< n_{m+1}}\frac{\mu_1^{n_1}\cdots\mu_{m+1}^{n_{m+1}}}{n_1^{k_1}\cdots n_m^{k_m}}t^{n_{m+1}-1}dt \\ &=\int_0^x\sum_{0< n_1<\cdots< n_{m}}\frac{\mu_1^{n_1}\cdots\mu_m^{n_m}\mu_{m+1}^{n_m+(n_{m+1}-n_m)}}{n_1^{k_1}\cdots n_m^{k_m}}t^{n_m+(n_{m+1}-n_m-1)}dt \\ &=\int_0^x\sum_{0< n}\mu_{m+1}^nt^{n-1}\sum_{0< n_1<\cdots< n_{m}}\frac{\mu_1^{n_1}\cdots(\mu_m\mu_{m+1})^{n_m}}{n_1^{k_1}\cdots n_m^{k_m}}t^{n_m}dt \\ &=\int_0^x\frac{dt}{\mu_{m+1}^{-1}-t}L_{k_1,\cdots,k_m}(\mu_1,\cdots,\mu_m\mu_{m+1})[t] \end{align}

補題1の結果に補題3、4の式を適用して
$$L_{k_1,\cdots,k_m}(\mu_1,\cdots,\mu_m)[x]=\int_0^xz_{k_m,i_m}\cdots z_{k_1,i_m+\cdots+i_1}$$
を得るので$x\to1$として定理1の式を得る。

参考文献

投稿日:20211121

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

投稿者

Ιδέα
Ιδέα
76
4387
割り算が苦手です

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中