多重ゼータ値[2]
一様収束性の議論とかはいちいち書くのが面倒なので記事内ではしていませんが、級数と積分の交換がすべて正しく行われていることは確認済みです。
$\ds\mathbb{C}^1:=\{z\ \vert \ z\in\mathbb{C},|z|=1\},{\bm k}\in\coprod_i\mathbb{Z}_{>0}^i,{\bm a}\in\coprod_i(\mathbb{C}^1)^i$ とする。
$$\zeta({\bm k}):=\sum_{0< n_1<\cdots< n_i}\frac{1}{{\bm n}^{\bm k}}$$
$$\zeta({\bm k})[x]:=\sum_{0< n_1<\cdots< n_i}\frac{1}{{\bm n}^{\bm k}}x^{n_i}$$
$$L_{\bm k}({\bm a}):=\sum_{0< n_1<\cdots< n_i}\frac{{\bm a}^{\bm n}}{{\bm n}^{\bm k}}$$
$$L_{\bm k}({\bm a})[x]:=\sum_{0< n_1<\cdots< n_i}\frac{{\bm a}^{\bm n}}{{\bm n}^{\bm k}}x^{n_i}$$
上は多重$\zeta$値(Multiple Zeta Value,MZV)と多重$L$値(Multiple L Value,MLV)の定義である。
明らかに$L_{\bm k}({\bm 1})=\zeta({\bm k})$である。
また、$\bm a$の要素が$\ds\zeta_N=\exp\left(\frac{2\pi i}{N}\right)$の冪のみであるとき、これをclass$N$のMLVという。特に$N=2$のときはAlternating Multiple Zeta Value(日本語訳はわからない)といって、AMZVと略す。
たとえば$\bm k=(1,1,2),\bm a=(1,-1,1)$のとき、$L_{\bm k}({\bm a})=\zeta(1,\ol1,2)$となる。
$\ds a=\frac{dx}{x},b_i=\frac{dx}{\zeta_N^{-i}-x},X=\{a,b_0,\cdots,b_{N-1}\}$とおく。$X$が$\mathbb{Q}$上張る非可換多項式代数を${\frak H}_N$とおく。
反復積分を以下のように再帰的に定義する。
$$\int_a^bf_1(x)dx\cdots f_m(x)dx=\int_a^bf_1(x)dx\cdots f_{m-1}(x)dx\int_0^{x}f_m(u)du$$
$z_{k,i}=a^{k-1}b_i\in\H_N,\zeta_N^{i_n}=\mu_n$とする。このとき、class$N$のMLVは反復積分を用いて以下のように表される。
$$L_{k_1,\cdots,k_m}(\mu_1,\cdots,\mu_m)=\int_0^1z_{k_m,i_m}z_{k_{m-1},i_m+i_{m-1}}\cdots z_{k_1,i_m+\cdots +i_1}$$
$$L_{1}(\mu_1)[x]=\int_0^xz_{1,i_1}$$
以下の証明で$x$は$0< x<1$を満たす実数とする。
\begin{align} L_1(\mu_1)[x]&=\sum_{0< n}\frac{\mu_1^n}{n}x^n \\ &=\sum_{0< n}\mu_1^n\int_0^xt^{n-1}dt \\ &=\int_0^x\sum_{0< n}\mu_1^nt^{n-1}dt \\ &=\int_0^x\mu_1\sum_{0\leq n}(\mu_1t)^ndt \\ &=\int_0^x\frac{dt}{\mu_1^{-1}-t} \\ &=\int_0^xz_{1,i_1} \end{align}
$$L_{k_1,\cdots,k_m+1}(\mu_1,\cdots,\mu_m)[x]=\int_0^x\frac{dt}{t}L_{k_1,\cdots,k_m}(\mu_1,\cdots,\mu_m)[t]$$
\begin{align} L_{k_1,\cdots,k_m+1}(\mu_1,\cdots,\mu_m)[x]&=\sum_{0< n_1<\cdots< n_m}\frac{\mu_1^{n_1}\cdots\mu_m^{n_m}}{n_1^{k_1}\cdots n_m^{k_m}}\frac{x^{n_m}}{n_m} \\ &=\sum_{0< n_1<\cdots< n_m}\frac{\mu_1^{n_1}\cdots\mu_m^{n_m}}{n_1^{k_1}\cdots n_m^{k_m}}\int_0^xt^{n_m-1}dt \\ &=\int_0^x\sum_{0< n_1<\cdots< n_m}\frac{\mu_1^{n_1}\cdots\mu_m^{n_m}}{n_1^{k_1}\cdots n_m^{k_m}}t^{n_m-1}dt \\ &=\int_0^x\frac{dt}{t}L_{k_1,\cdots,k_m}(\mu_1,\cdots,\mu_m)[t] \end{align}
$$L_{k_1,\cdots,k_m,1}(\mu_1,\cdots,\mu_m,\mu_{m+1})[x]=\int_0^x\frac{dt}{\mu_{m+1}^{-1}-t}L_{k_1,\cdots,k_m}(\mu_1,\cdots,\mu_m\mu_{m+1})[t]$$
\begin{align} L_{k_1,\cdots,k_,1}(\mu_1,\cdots,\mu_m,\mu_{m+1})[x]&=\sum_{0< n_1<\cdots< n_{m+1}}\frac{\mu_1^{n_1}\cdots\mu_m^{n_m}\mu_{m+1}^{n_{m+1}}}{n_1^{k_1}\cdots n_m^{k_m}}\frac{x^{n_{m+1}}}{n_{m+1}} \\ &=\sum_{0< n_1<\cdots< n_{m+1}}\frac{\mu_1^{n_1}\cdots\mu_m^{n_m}}{n_1^{k_1}\cdots n_m^{k_m}}\mu_{m+1}^{n_{m+1}}\int_0^xt^{n_{m+1}-1}dt \\ &=\int_0^x\sum_{0< n_1<\cdots< n_{m+1}}\frac{\mu_1^{n_1}\cdots\mu_{m+1}^{n_{m+1}}}{n_1^{k_1}\cdots n_m^{k_m}}t^{n_{m+1}-1}dt \\ &=\int_0^x\sum_{0< n_1<\cdots< n_{m}}\frac{\mu_1^{n_1}\cdots\mu_m^{n_m}\mu_{m+1}^{n_m+(n_{m+1}-n_m)}}{n_1^{k_1}\cdots n_m^{k_m}}t^{n_m+(n_{m+1}-n_m-1)}dt \\ &=\int_0^x\sum_{0< n}\mu_{m+1}^nt^{n-1}\sum_{0< n_1<\cdots< n_{m}}\frac{\mu_1^{n_1}\cdots(\mu_m\mu_{m+1})^{n_m}}{n_1^{k_1}\cdots n_m^{k_m}}t^{n_m}dt \\ &=\int_0^x\frac{dt}{\mu_{m+1}^{-1}-t}L_{k_1,\cdots,k_m}(\mu_1,\cdots,\mu_m\mu_{m+1})[t] \end{align}
補題１の結果に補題３、４の式を適用して
$$L_{k_1,\cdots,k_m}(\mu_1,\cdots,\mu_m)[x]=\int_0^xz_{k_m,i_m}\cdots z_{k_1,i_m+\cdots+i_1}$$
を得るので$x\to1$として定理１の式を得る。