スペクトル分解を使うと行列の指数関数や対数関数がすっきりと計算できることを示したつもりのメモを残す。
対称行列に関して以下の定理が成り立つ。
このスペクトル分解を認めると、例えば
と計算できる。一般に
と計算できる。
行列の多項式を定義しておこう。
多項式
のように与えられたとき、正方行列
によって定義する(
スペクトル分解により、
となり、効率的に行列の多項式が計算できる。ちなみに行列多項式
さてここで、正方行列
もはや行列の多項式ではないが、この行列の指数関数の計算にもスペクトル分解が役に立つ。形式的に「代入」すれば
特に
が得られる。
正方行列
を満たす正方行列
もし、
により行列
となるから、まさに
スペクトル分解たのしい(雑)