複素数の絶対値の特徴づけ

$z, z_0 \in \mathbf{C}$として、$z \rightarrow z_0$ なるとき $f(z) \rightarrow f(z_0)$を示したい。

$z = re^{i\theta}$とすると、条件より$f(z) = f(r)f(e^{i\theta}) = rf(e^{i\theta})$である。
そして
$$ \begin{eqnarray} \left|f(z) - f(z_0)\right| &\leq& |rf(e^{i\theta}) - r_0f(e^{i\theta_0})| = |rf(e^{i\theta}) - r_0f(e^{i\theta}) + r_0f(e^{i\theta}) - r_0f(e^{i\theta_0})|\\ &\leq & |r - r_0||f(e^{i\theta})| + r_0|f(e^{i\theta}) - f(e^{i\theta_0})| \end{eqnarray} $$

さて$f(e^{i\theta})$は以下のように抑えられる。
$$ f(e^{i\theta}) = f(\cos \theta + i\sin \theta)\leq f(\cos \theta) + f(i)f(\sin \theta) $$
また負の実数$y$を$y = -x \; (x > 0)$とすれば
$$ f(y) = f(-x) = f(-1)f(x) = f(-1)x $$
であるから、$f(e^{i\theta})$は$A_{\theta}$と$B_{\theta}$をそれぞれ$\cos \theta$と$\sin \theta$の符号から決まる定数として
$$ f(e^{i\theta}) \leq A_\theta \cos \theta + B_\theta\:f(i) \sin \theta $$
と評価できる。詳しく書けば
$$ A_\theta = \begin{cases} 1 & (\cos \theta \geq 0)\\ f(-1) & (\cos \theta < 0) \end{cases} $$
$$ B_\theta = \begin{cases} 1 & (\sin \theta \geq 0)\\ f(-1) & (\sin \theta < 0) \end{cases} $$
である。

したがって
$$ \begin{eqnarray} \left|f(z) - f(z_0)\right| &\leq & |r - r_0||f(e^{i\theta})| + r_0|f(e^{i\theta}) - f(e^{i\theta_0})|\\ &\leq & |r - r_0|(A_\theta + B_\theta\:f(i)) + r_0 A|\cos \theta - \cos \theta_0| + r_0 B\:f(i)|\sin \theta - \sin \theta_0| \end{eqnarray} $$
となる。ただし$A = \max\{A_\theta, A_{\theta_0}\}$、$B = \max\{B_\theta, B_{\theta_0}\}$とおいた。$z \rightarrow z_0$なるとき最右辺が$0$に収束するので、$f$は連続である。

$\left(f(e^{i\theta})\right)^{2^n} = f\left((e^{i\theta})^{2^n}\right) = f(e^{i2\pi k}) = f(1) = 1$
であるから、$f(e^{i\theta})$は$1$の$2^n$乗根である。$f$の定義より$0$以上の実数値に限られるので、$f(e^{i\theta})=1$である。

単位円周上の任意の点を$e^{i\theta} \;(\theta \in [0, 2\pi))$ と表す。然らば、任意の正数$\delta> 0$に対してある自然数$N$が存在して、
$$ 0 \leq \frac{\theta}{2\pi} - \frac{k}{2^N} < \frac{1}{2^N} < \delta $$
とできる（$[0, 1)$における有理数の稠密性）。

補題2の$f$の連続性により、任意の正数$\epsilon > 0$に応じて正数$\delta > 0$を取り、さらに$\delta$に応じて十分大きく$N$を取れば、$n\geq N$のとき
$$ \left|\theta - 2\pi \frac{k}{2^n}\right| <\delta \Rightarrow 0\leq |f(e^{i\theta}) - f(e^{i 2\pi k / 2^n})| = |f(e^{i\theta}) - 1| < \epsilon $$
とできる。ここで$f(e^{i2\pi k / 2^n}) = 1$に補題3を用いた。

ゆえに$|f(e^{i\theta}) - 1|=0$、すなわち$f(e^{i\theta}) = 1$である。