複素数の絶対値の特徴づけ

$z,z_0\in \mathbf{C}$として、$z\to z_0$ なるとき $f(z)\to f(z_0)$を示したい。

$z=r{e}^{i\theta }$とすると、条件より$f(z)=f(r)f(e^{i\theta })=rf(e^{i\theta })$である。
そして
$$\begin{array}{rcl}|f(z)-f(z_0)|& \le & |rf(e^{i\theta })-r_{0}f(e^{i{\theta }_0})|=|rf(e^{i\theta })-r_{0}f(e^{i\theta })+r_{0}f(e^{i\theta })-r_{0}f(e^{i{\theta }_0})|\\ & \le & |r-r_0||f(e^{i\theta })|+r_0|f(e^{i\theta })-f(e^{i{\theta }_0})|\end{array}$$

さて$f(e^{i\theta })$は以下のように抑えられる。
$$f(e^{i\theta })=f(\cos \theta +i\sin \theta )\le f(\cos \theta )+f(i)f(\sin \theta )$$
また負の実数$y$を$y=-x(x>0)$とすれば
$$f(y)=f(-x)=f(-1)f(x)=f(-1)x$$
であるから、$f(e^{i\theta })$は$A_{\theta }$と$B_{\theta }$をそれぞれ$\cos \theta$と$\sin \theta$の符号から決まる定数として
$$f(e^{i\theta })\le A_{\theta }\cos \theta +B_{\theta }f(i)\sin \theta$$
と評価できる。詳しく書けば
$$A_{\theta }=\{\begin{array}{ll}1& (\cos \theta \ge 0)\\ f(-1)& (\cos \theta <0)\end{array}$$
$$B_{\theta }=\{\begin{array}{ll}1& (\sin \theta \ge 0)\\ f(-1)& (\sin \theta <0)\end{array}$$
である。

したがって
$$\begin{array}{rcl}|f(z)-f(z_0)|& \le & |r-r_0||f(e^{i\theta })|+r_0|f(e^{i\theta })-f(e^{i{\theta }_0})|\\ & \le & |r-r_0|(A_{\theta }+B_{\theta }f(i))+r_{0}A|\cos \theta -\cos {\theta }_0|+r_{0}Bf(i)|\sin \theta -\sin {\theta }_0|\end{array}$$
となる。ただし$A=max\{A_{\theta },A_{{\theta }_0}\}$、$B=max\{B_{\theta },B_{{\theta }_0}\}$とおいた。$z\to z_0$なるとき最右辺が$0$に収束するので、$f$は連続である。

${(f(e^{i\theta }))}^{2^n}=f((e^{i\theta }{)}^{2^n})=f(e^{i2\pi k})=f(1)=1$
であるから、$f(e^{i\theta })$は$1$の$2^n$乗根である。$f$の定義より$0$以上の実数値に限られるので、$f(e^{i\theta })=1$である。

単位円周上の任意の点を$e^{i\theta }(\theta \in [0,2\pi ))$ と表す。然らば、任意の正数$\delta >0$に対してある自然数$N$が存在して、
$$0\le \frac{\theta }{2\pi }-\frac{k}{2^N}<\frac{1}{2^N}<\delta$$
とできる（$[0,1)$における有理数の稠密性）。

補題2の$f$の連続性により、任意の正数$ϵ>0$に応じて正数$\delta >0$を取り、さらに$\delta$に応じて十分大きく$N$を取れば、$n\ge N$のとき
$$|\theta -2\pi \frac{k}{2^n}|<\delta \Rightarrow 0\le |f(e^{i\theta })-f(e^{i2\pi k/2^n})|=|f(e^{i\theta })-1|<ϵ$$
とできる。ここで$f(e^{i2\pi k/2^n})=1$に補題3を用いた。

ゆえに$|f(e^{i\theta })-1|=0$、すなわち$f(e^{i\theta })=1$である。