高校数学解説

文献あり

偶関数と奇関数について

偶奇

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はじめに

こんにちは、AGAです。
今回は偶関数と奇関数の定義と様々な性質についてまとめました。

定義

関数の偶奇

$f (x)$ の定義域を $I$ とする。
任意の実数 $x$ について $x \in I \Rightarrow (- x) \in I$ を満たし、
任意の $x \in I$ に対して

$f (- x) = f (x)$ をみたすとき $f (x)$ を偶関数という
$f (- x) = - f (x)$ をみたすとき $f (x)$ を奇関数という

今回、定義をめんどくさくしたのは
$f (x) = \frac{1}{x}$ などの定義されない点がある関数でも
定義できるようにするためです。
そのため、この定義はこの記事内でのものです。

偶関数

$x^{2}, x^{4}, | x |, \cos (x), \cosh (x)$

奇関数

$x, x^{5}, \frac{1}{x}, x | x |, \sin (x), \sinh (x)$

どちらでもないもの

$x + | x |, 1 + x, \sqrt{x}, e^{x}, x!$

0

$f (x) = 0 ⟺ f (x)$ は偶関数であり奇関数

$\Rightarrow$ は定義から自明
$\Leftarrow$ について
仮定から
$f (- x) = f (x) = - f (x)$
$2 f (x) = 0$
$f (x) = 0$

四則演算

この節を含み、この節以降 $f_{1} (x), f_{3} (x)$ を奇関数、 $f_{2} (x), f_{4} (x)$ を偶関数とする。

和

$g_{1} (x) = f_{1} (x) + f_{2} (x)$ はどれとも限らない
$g_{2} (x) = f_{1} (x) + f_{3} (x)$ は奇関数
$g_{3} (x) = f_{2} (x) + f_{4} (x)$ は偶関数

1.

$f_{1} (x) = x, f_{2} (x) = 1$ のときg_1(x)はどちらでもない
$f_{1} (x) = x, f_{2} (x) = 0$ のときg_1(x)は奇関数
$f_{1} (x) = 0, f_{2} (x) = 1$ のときg_1(x)は偶関数

2.

$g_{2} (- x) = f_{1} (- x) + f_{3} (- x) = - (f_{1} (x) + f_{3} (x)) = - g_{2} (x)$

3.

$g_{3} (- x) = f_{2} (- x) + f_{4} (- x) = f_{2} (x) + f_{4} (x) = g_{3} (x)$

-

$g_{1} (x) = - f_{1} (x)$ は奇関数
$g_{2} (x) = - f_{2} (x)$ は偶関数

自明

積

$g_{1} (x) = f_{1} (x) f_{2} (x)$ は奇関数
$g_{2} (x) = f_{1} (x) f_{3} (x)$ は偶関数
$g_{3} (x) = f_{2} (x) f_{4} (x)$ は偶関数

1.

$g_{1} (- x) = f_{1} (- x) f_{2} (- x) = - f_{1} (x) f_{2} (x) = - g_{1} (x)$

2.

$g_{2} (- x) = f_{1} (- x) f_{3} (- x) = f_{1} (x) f_{3} (x) = g_{2} (x)$

3.

$g_{3} (- x) = f_{2} (- x) f_{4} (- x) = f_{2} (x) f_{4} (x) = g_{3} (x)$

逆元

$f_{1} (x) \neq 0, f_{2} (x) \neq 0$ のとき
$\frac{1}{f_{1} (x)}$ は奇関数
$\frac{1}{f_{2} (x)}$ は偶関数

自明

命題2~5

偶奇がある関数の四則演算では

$偶奇が一致する関数の和、差の偶奇も等しい$
$偶奇が一致する関数の積は偶関数$
$偶奇が一致しない関数の積は奇関数$

合成関数

合成関数の偶奇

$g (x)$ は任意の関数とする

$f_{1} (f_{3} (x))$ は奇関数
$f_{2} (f_{1} (x))$ は偶関数
$g (f_{2} (x))$ は偶関数

$f_{1} (f_{3} (- x)) = f_{1} (- f_{3} (x)) = - f_{1} (f_{3} (x))$
$f_{2} (f_{1} (- x)) = f_{2} (- f_{1} (x)) = f_{2} (f_{1} (x))$
$g (f_{2} (- x)) = g (f_{2} (x))$

偶関数と奇関数の和

任意の関数と偶関数と奇関数の和

任意の関数 $g (x)$ は偶関数と奇関数の和で表せ、
それぞれ $\frac{g (x) + g (- x)}{2}, \frac{g (x) + g (- x)}{2}$ の一通りである

可能性

上の例からすぐいえる

一意性

$f_{1} (x) + f_{2} (x) = f_{3} (x) + f_{4} (x)$
$f_{1} (x) - f_{3} (x) = f_{4} (x) - f_{2} (x)$
左辺は奇関数、右辺は偶関数だから、
偶関数かつ奇関数になるので
$f_{1} (x) - f_{3} (x) = f_{4} (x) - f_{2} (x) = 0$
$f_{1} (x) = f_{3} (x), f_{2} (x) = f_{4} (x)$
また、上の例は偶関数と奇関数の和の一例だから
上の例のみになる。

導関数

$x = a$ で微分可能な関数 $f_{1} (x), f_{2} (x)$ について
$x = - a$ でも微分可能で
$f_{1}^{'} (- a) = f_{1}^{'} (a)$
$f_{2}^{'} (- a) = - f_{2}^{'} (a)$

導関数の定義から
$f_{1}^{'} (- a) = lim_{h \to 0} \frac{f_{1} (- a + h) - f_{1} (- a)}{h}$
$= lim_{h \to 0} \frac{- f_{1} (a - h) + f_{1} (a)}{h}$
$= lim_{t \to 0} \frac{- (f_{1} (a - h) - f_{1} (a))}{- t}$
$= lim_{t \to 0} \frac{f_{1} (a - h) - f_{1} (a)}{t}$
$= f_{1}^{'} (a)$

下も同様

定積分

任意の実数 $t$ について
$\int_{- t}^{t} f_{1} (x) d x = 0$
$\int_{- t}^{t} f_{1} (x) d x = 2 \int_{0}^{t} f (x) d x$

置換積分も用いる

$\int_{- t}^{t} f_{1} (x) d x = \int_{- t}^{0} f_{1} (x) d x + \int_{0}^{t} f_{1} (x) d x = \int_{0}^{t} f_{1} (x) d x - \int_{0}^{t} f_{1} (x) d x = 0$