非整数階積分と随伴作用素

前回の記事( 非整数階積分とJacobi多項式 )において, 非整数階積分から二つの作用素$[a,b]_+,\langle a,b\rangle_+$とその特別な場合として, $[a]_+,\langle a\rangle_+$を導入した. 内積を$\langle f,g\rangle$とする. 任意の$f,g$について$\langle \phi f,g\rangle=\langle f,\phi^*g\rangle$を満たす作用素$\phi^*$を$\phi$の随伴作用素という. 内積
\begin{align*} \langle f,g\rangle =\int_0^1f(t)g(t)t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt \end{align*}
を考える. まず, $\pi_{a,b}:=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b-a)}{\Gamma(b)}$として,
\begin{align*} \langle [a,b]_+f,g\rangle&=\frac{1}{\pi_{a,b}}\int_0^1\left(t^{1-b}\int_0^tx^{a-1}(t-x)^{b-a-1}f(x)\,dx\right)g(t)t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt\\ &=\frac{1}{\pi_{a,b}}\int_0^1f(x)\left((1-x)^{1-b}\int_x^1t^{a-b}(1-t)^{b-1}(t-x)^{b-a-1}g(t)\,dt\right)x^{a-1}(1-x)^{b-1}\,dx \end{align*}
だから, $[a,b]_+$の随伴作用素$[a,b]_+^*$は
\begin{align*} [a,b]_+^*f(x)&=\frac{1}{\pi_{a,b}}(1-x)^{1-b}\int_x^1t^{a-b}(1-t)^{b-1}(t-x)^{b-a-1}f(t)\,dt \end{align*}
によって定まることが分かる. これを$[a,b]^+$と書くことにして, $[a]^+:=[a,1]^+$とする. 上の表示から, 特に$\pi_a:=\frac{\pi}{\sin \pi a}$として
\begin{align*} [a]_+f(x)&=\frac 1{\pi_a}\int_0^xt^{a-1}(x-t)^{-a}f(t)\,dt\\ [a]^+f(x)&=\frac 1{\pi_a}\int_x^1t^{a-1}(t-x)^{-a}f(t)\,dt\\ \end{align*}
と似たような形で表されることが分かる. 次に,
\begin{align*} \langle \langle a,b\rangle_+f,g\rangle&=\frac{1}{\pi_{a,b}}\int_0^1\left((1-t)^{1-b}\int_0^{1-t}x^{a-1}(1-t-x)^{b-a-1}f(x)\,dx\right)g(t)t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt\\ &=\frac{1}{\pi_{a,b}}\int_0^1f(x)\left((1-x)^{1-b}\int_0^{1-x}t^{a-1}(1-t-x)^{b-a-1}g(t)\,dt\right)x^{a-1}(1-x)^{b-1}\,dx \end{align*}
より, $\langle a,b\rangle_+$の随伴作用素は$\langle a,b\rangle_+$に一致することが分かる. このように随伴作用素が元の作用素に一致するような作用素をHermite作用素という.　ここで, 新たに$\langle a,b\rangle^+f(x):=([a,b]^+f)(1-x)$によって定義すると,
\begin{align*} \langle \langle a,b\rangle^+f,g\rangle&=\frac{1}{\pi_{a,b}}\int_0^1\left(t^{1-b}\int_{1-t}^1x^{a-b}(1-x)^{b-1}(t+x-1)^{b-a-1}f(x)\,dx\right)g(t)t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt\\ &=\frac{1}{\pi_{a,b}}\int_0^1f(x)\left(x^{1-b}\int_{1-x}^1t^{a-b}(1-t)^{b-1}(t+x-1)^{b-a-1}g(t)\,dt\right)x^{a-1}(1-x)^{b-1}\,dx \end{align*}
が成り立つので, $\langle a,b\rangle^+$もHermite作用素であることが分かる. 同様に$\langle a\rangle^+:=\langle a,1\rangle^+$と定めることにする. 前回の記事によれば$\langle a,b\rangle_+$の固有関数となるような直交関数系はJacobi多項式
\begin{align*} \rho_n^{(a,b)}(x)&=(-1)^n\frac{(a)_n}{n!}\sum_{k=0}^n\frac{(-n,a+b+n-1)_k}{k!(a)_k}x^k \end{align*}
によって与えられる. この類似として, $\langle a,b\rangle^+$の固有関数となるような直交関数系を求めることが今後の研究課題である.