前回の記事(
非整数階積分とJacobi多項式
)において, 非整数階積分から二つの作用素とその特別な場合として, を導入した. 内積をとする. 任意のについてを満たす作用素をの随伴作用素という. 内積
を考える. まず, として,
だから, の随伴作用素は
によって定まることが分かる. これをと書くことにして, とする. 上の表示から, 特にとして
と似たような形で表されることが分かる. 次に,
より, の随伴作用素はに一致することが分かる. このように随伴作用素が元の作用素に一致するような作用素をHermite作用素という. ここで, 新たにによって定義すると,
が成り立つので, もHermite作用素であることが分かる. 同様にと定めることにする. 前回の記事によればの固有関数となるような直交関数系はJacobi多項式
によって与えられる. この類似として, の固有関数となるような直交関数系を求めることが今後の研究課題である.