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イデアルの密着閉包と計算例

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　本記事は Mathlogアドベントカレンダー2021 の３日目の記事として書かれています．昨日はめいぜんおーえすさんによる 5つの圏の定義とCoqによる実装でした．

密着閉包とは

　イデアルの密着閉包は，1980年代の後半にHochsterとHunekeによって導入された道具であり，それ以降の20年にわたって可換環論の中心トピックのひとつでした．まずは定義をご覧いただきたいところですが，その前にもまだ少し準備が必要です．

　以下$R$を，標数$p > 0$の体$K$を包む整域とします．素数$p > 0$の可換環上では「$p$乗する」という写像は大変特徴的な役割を果たします．

フロベニウス写像

写像$F \colon R \to R$を$F(x) := x^p$で定義するとき，これは環準同型である．この環準同型を$R$のフロベニウス写像という．

　冪をとる写像は一般には環準同型にはならないのですが，標数乗（および標数の冪乗）の場合に限っては加法を保ち，特に環準同型になるのです．証明は２項定理を用いて
$$ (a + b)^p := \sum_{u=0}^p {p \choose u} a^u b^{p-u}$$
と展開すると，$0 < u < p$の範囲では２項係数${p \choose u}$が標数$p$で割り切れるので$0$となり，$(a+b)^p = a^p + b^p$を得るという寸法です．

　標数$0$の体の上の可換環論および代数幾何では，解析幾何・微分幾何との相互乗り入れによって持ち込まれた微積分を中心とした解析的手法が（ときに不可欠なほど）重要な手段として用いられてきました．標数$p > 0$の体上では微分的手法はもちろん使えませんが，フロベニウス写像の精緻な観察が解析的手法の代用となることは経験的に予想されていたようです．今回紹介する密着閉包の概念も，このフロベニウス写像の観察の延長線上にあります．

　$R$のイデアル$I$に対し，$I$の$F^e$（$F$の$e$回合成＝$p^e$乗写像）による拡大，すなわち
$$\left( x^{p^e} ~\middle|~ x \in I \right )$$
を$I^{[p^e]}$と表し，$I$のフロベニウス冪といいます．イデアルの拡大とはいうものの，
$$ I \supset I^{[p]} \supset I^{[p^2]} \supset \cdots$$
と拡大するほど集合として小さくなるのは（言葉のあやとはいえ）おもしろいところです．

密着閉包

$R$のイデアル$I$の密着閉包$I^\ast$は次で定義される：$x \in R$に対し，$x \in I^\ast$ とは

ある$c \ne 0$が存在して，充分に大きな総ての$e$に対して$cx^{p^e} \in I^{[p^e]}$となる

が成り立つことをいう．

　極めて微妙な定義で，何がしたいのか一見しただけではちょっとわかりません．しかしその微妙さのゆえにもたらされた豊饒な理論は，密着閉包の魅力と名声を高め続けました．

密着閉包はイデアルである

$R$のイデアル$I$の密着閉包$I^\ast$は$I$を包む$R$のイデアルをなす．

　$x \in I$のとき，任意の$e$に対し$x^{p^e} \in I^{[p^e]}$なので$x \in I^\ast$を得る（$c = 1$でよい）．

　$I^\ast$がイデアルであることを示そう．$x, y \in I^\ast$と$a \in R$をとる．$c, d \ne 0$をそれぞれ

充分大きな総ての$e$に対して$cx^{p^e} \in I^{[p^e]}$，
充分大きな総ての$e$に対して$dy^{p^e} \in I^{[p^e]}$，

を充たすものとすれば，$R$は整域ゆえ$cd \ne 0$で
$$ cd (x+y)^{p^e} = d \dot cx^{p^e} + c \dot dy^{p^e} \in I^{[p^e]}$$
および
$$ c (ax)^{p^e} = a^{p^e} \dot cx^{p^e} \in I^{[p^e]}.$$
これは$x+y \in I^\ast$および$ax \in I^\ast$を意味する．

　密着閉包は特徴的な性質をいくつか持ちますが，ひとつには理論的に大変優れていること，そしてまた計算がしにくいことなどが挙げられましょう．理論的な優秀性は多くの研究者を惹きつけました．個人的な話をすれば，ぼくはゼロ年代後半に可換環を専門とする院生生活を送ったので，密着閉包は気になるけれど手に負えないものとして憧れの対象でありました．一方，計算の複雑さは定義から自然に引き起こされるもので簡単に解消する手段もなく，それゆえに極めて基本的な課題が未解決のまま20年以上残されることになりました．今回はいくつかの例において密着閉包を計算し，その大変さを垣間見て頂きましょう．

密着閉包の計算例

　以下，標数$p > 0$の体$K$上の３変数多項式環$K[X,Y,Z]$の剰余環を考え，各例において$X,Y,Z$が代表する剰余類をそれぞれ$x,y,z$で表します．

$R = \dfrac{K[X,Y,Z]}{(X^2-Y^3-Z^7)}$のとき，$(y,z)^\ast = (x,y,z)$．

$p = 2$のとき
$$ x^{2^e} = (y^3+z^7)^{2^{e-1}} = y^{3\cdot 2^{e-1}} + z^{7 \cdot 2^{e-1}}$$
であり，$3 \cdot 2^{e-1}$, $7 \cdot 2^{e-1}$はともに$2^e$より大きいので $x^{2^e} \in (y^{2^e}, z^{2^e}) = (y,z)^{[2^e]}$，すなわち $x \in (y,z)^\ast$．

$p$が奇素数のとき，$c = x$，$r = \frac{p^e+1}{2}$とおくと
$$ cx^{p^e} = (y^3+z^7)^r.$$
２項定理を用いて右辺を展開すると$y^{3u} \cdot z^{7v}$, ここで$u+v = r$，の線型結合となるが，条件$u+v = r$から$3u \ge p^e$か$7v \ge p^e$のいずれかは成り立つ．[背理法による．$3v < p^e$かつ$7u < p^e$とすると$u+v < \frac{p^e}{3} + \frac{p^e}{7} = \frac{10}{21}p^e < \frac{p^e+1}{2} = u.$]これは右辺の各項が，特に右辺が$(y,z)^{[p^e]}$に属すること，すなわち$x \in (y,z)^\ast$を意味する．

　上記の例でも，$K$の標数によって議論の進め方は少し変わりはしたものの，結論は標数によって変化はしませんでした．しかし次の例は，密着閉包の大きさが体の標数に依存することを示唆しています．

$R = \dfrac{K[X,Y,Z]}{(X^2-Y^3-Z^5)}$のとき，$x \in (y,z)^\ast \iff p \le 5.$

　証明の前に，$y,z$が生成する部分環$S := K[y,z]$について注意しましょう．この系列$y,z$は$R$のパラメーター系と呼ばれ，次の性質をもちます：

$S$は$K$上（２変数）の多項式環である．
$R$ は $1,x$を自由基底とする自由$S$加群である，特に任意の$f \in R$は
$$ f = f_1 + x \cdot f_2,~~~f_t \in S$$
の形に一意的に表せる．

　$p = 2$のとき，例１と同様に$c = 1$として
$$ x^{2^e} = (y^3+z^5)^{2^{e-1}} = y^{3\cdot 2^{e-1}} + z^{5 \cdot 2^{e-1}}$$
と展開すれば，$3\cdot 2^{e-1} \ge 2^e$または$5 \cdot 2^{e-1} \ge 2^e$・これは右辺の各項が，特に右辺が$(y,z)^{[p^e]}$に属すること，すなわち$x \in (y,z)^\ast$を意味する．

　$p$が奇素数のとき，$r = \frac{p^e + 1}{2}$ とおけば
$$ x^{p^e+1} = (y^3 + z^5)^{r} = \sum_{u+v = r} {r \choose u} y^{3u} z^{5v}.$$
　ここで右辺が$(y,z)^{[p^e]} = (y^{p^e}, z^{p^e})$に含まれるためには

$3u < p^e$かつ$5v < p^e$なる$u,v$が存在しない
$3u < p^e$かつ$5v < p^e$なる$u,v$に対し，$K$内で${r \choose u}=0$

のいずれかが成り立てばよい．$p = 3, 5$ に対して上を示そう．

　$p = 3$のとき，$3u \ge p^e$ならば示すことはない．$u < 3^{e-1}$のとき
$$v = r - u > \frac{3^e+1}{2} - 3^{e-1} = \frac{3^{e-1} + 1}{2},$$
ここから $5v > \frac{5}{2} \cdot (3^{e-1} + 1) \ge 3^e$．$p = 5$に対してもほぼ同様に，$w \ge 5^{e-1}$ならば示すことはなく，$v < 5^{e-1}$ならば$3u \ge q$を得る．

　続いて，$p \ge 7$の場合に進もう．$c \ne 0$を$c = c_1 + x c_2$と表し，多項式$c_1, c_2 \in S$の$y, z$に関する次数の最大値をそれぞれ$s, t$とおく．また$r = \frac{p^e+1}{2}$とすると
$$ cx^{p^e+1} = c(y^3+ z^5)^r = c \sum_{u+v = r} {r \choose u} y^{3u} z^{5v}$$
と表され，$x \in (y,z)^\ast$となるためには$c$の寄与を含めて

$3u+s < p^e$かつ$5v+t < p^e$なる総ての$u,v$に対し${r \choose u} = 0$（in $K$）

が成り立たねばならない．これを否定しよう．

　鍵を握るのは次の２つの不等式である：

(a) $\dfrac{3}{10} p < a_p < \dfrac{p}{3}$，　　　(b) $\dfrac{p}{6} < b_p < \dfrac{p}{5}$．

(a)の解$a_p$が存在したとすれば，$u = a_p p^{e-1}$，$v = r - u$とおくと，充分大きな$e>1$に対して
$$ 3u + s < p^e,~~~~5v + t < p^e$$
が成り立つ．またこのとき
$$ {r \choose u} = \frac{r (r-1) \cdots (r-u+1)}{u (u-1) \cdots 1}$$
は$p$で割り切れず，特に$K$において$0$ではない．同様に(b)の解$b_p$が存在するならば$v = b_p p^{e-1}$，$u = r-v$ととれば同様の結果を得る．

　$p > 7$ のときは(a), (b)の少なくとも一方に（$p > 30$ならば両方に）解が存在する．ゆえに，$p > 7$ の場合には$x \not\in (y,z)^\ast$である．

　最後に$p = 7$の場合で，このとき(a),(b)はともに整数解をもたない．ところで，$u < \frac{7^e}{3}$，$v < \frac{7^e}{5}$および$u+v = \frac{7^e+1}{2}$から，２項係数${r \choose u} = {r \choose v}$の分子・分母にはそれぞれ$7^{e-1}$が１回だけ現れる．また$\frac{7^2}{6} < 9 < \frac{7^2}{5}$なので，$v = 9 \cdot 7^2$，$u = r - v$とおくと${r \choose u}$は$p$で割り切れず，$K$において$0$ではない．