Weierstrass変換exp(a∇^2)とそのイメージ

今日は指数の肩にラプラシアンを乗せた演算子について考える。これはWeierstrass変換と呼ばれていて、次のような積分変換の表示ができる:
$$e^{a\p^2}\cdot f(x)=\frac 1{\sqrt{4\pi a}}\int^\infty_{-\infty} f(t)\exp\left(-\frac {(x-t)^2}{4a}\right)dt$$　

準備として$\Gamma$関数を定義して性質を見る。
$$\Gamma (z)=\int^\infty_{0}t^{z-1}e^{-t}dt$$

部分積分によって帰納的に次が示される:$(n\in \N)$
$$\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$$
$$\Gamma(1)=1$$
$$\Gamma(n+1)=n!$$
$$\Gamma\left(n+\frac 12\right)=\frac{(2n-1)!!}{2^n}\Gamma\left(\frac 12\right)=\frac{(2n)!}{4^nn!}\Gamma\k{\frac12}$$
$\Gamma\k{\frac 12}$については変換$u\mapsto x^2,r^2\mapsto s,$曲座標変換$(x,y)\mapsto (r,\theta),dxdy\mapsto rdrd\theta$によって以下のように証明されるのは有名である:
\begin{align} &\Gamma\k{\frac 12}^2\\ =&\left(\int_0^{\infty}u^{-{\frac 12}}e^{-u}du\right)^{2}\\ =&\displaystyle \left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}dx\right)^{2}\\ =&\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2} -y^{2}} dxdy\\ =&\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\infty} re^{-r^{2}} drd\theta\\ =&\displaystyle 2\pi \int_{0}^{\infty} re^{-r^{2}} dr\\ =&\displaystyle \pi \int_{-\infty}^{0} e^{s} ds\\ =&\pi\\ \end{align}
演算子としての等式は多項式に対する作用が一致するという条件で定めたので、基底となる関数$f(x)=x^N$に対する作用を考察する。上で計算した結果を用いると

\begin{align} (LHS)=& \sum_{n=0}^\infty \frac{a^n}{n!}\p^{2n}\cdot x^N\\ =& \sum_{n=0}^{\lfloor N/2\rfloor} \frac{a^n}{n!}\frac{N!}{(N-2n)!}x^{N-2n} \end{align}
\begin{align} (RHS)&=\frac 1{\sqrt{4\pi a}}\int^\infty_{-\infty} t^N\exp\left(-\frac {(x-t)^2}{4a}\right)dt\\ &=\frac 1{\sqrt{4\pi a}}\int^\infty_{-\infty} (x+t)^N\exp\left(-\frac {t^2}{4a}\right)dt\\ &=\frac 1{\sqrt{4\pi a}}\int^\infty_{-\infty} \sum_{n=0}^{\lfloor N/2\rfloor}\binom N{2n}x^{N-2n}t^{2n}\exp\left(-\frac {t^2}{4a}\right)dt\\ &=\frac 1{\sqrt{\pi a}}\sum_{n=0}^{\lfloor N/2\rfloor}\binom N{2n}x^{N-2n}\int^\infty_{0}t^{2n}\exp\left(-\frac {t^2}{4a}\right)dt\\ &=\frac 1{\sqrt{\pi }}\sum_{n=0}^{\lfloor N/2\rfloor}\binom N{2n}x^{N-2n}(4a)^n\int^\infty_{0}t^{n-\frac 12}e^{-t}dt\\ &=\sum_{n=0}^{\lfloor N/2\rfloor}\binom N{2n}x^{N-2n}(4a)^n\frac {\Gamma\left(n+\frac12\right)}{\Gamma\left(\frac 12\right)}\\ &=\sum_{n=0}^{\lfloor N/2\rfloor} \frac{a^n}{n!}\frac{N!}{(N-2n)!}x^{N-2n} \end{align}

結果が一致したので上記の恒等式は証明された。
一般に性質が良い作用素は
$$G\cdot f(x)=\int^\alpha_\beta K(x;t)f(t)dt$$
という形の積分変換で書き表すことができて、$K$は核関数,積分核とよばれる。今回のWeierstrass変換は 熱核(heat kernel) とよばれる積分核である。

ここで$a$というパラメータは本質的ではない。なぜなら$x\mapsto \sqrt ax,t\mapsto \sqrt at,\p \mapsto \frac 1 {\sqrt a}\p,f(\sqrt az)\mapsto f(z)$という変数変換を行うことで$$e^{\p^2}\cdot f(x)=\frac 1{\sqrt{4\pi }}\int^\infty_{-\infty} f(t)\exp\left(-\frac {(x-t)^2}{4}\right)dt$$というように消去できるからである。厳密では無いが以下のように導出することも可能である(作用素としての有界性を示せば正当化できるかもしれない)

$\Gamma\k{\frac 12}$の途中式より
$$\int^\infty_{-\infty}e^{-at^2}dt=\sqrt {\frac \pi a}$$
なので
$$\sqrt {\frac a\pi }\k{\int^{-\infty}_{\p-\infty}+\int^{+\infty}_{-\infty}+\int^{\p+\infty}_{+\infty}}e^{-a(t-\p)^2}dt=1$$
となるが、
$$\int^{-\infty}_{\p-\infty}e^{-a(t-\p)^2}dt\cdot f(x)=\int^{\p+\infty}_{+\infty}e^{-a(t-\p)^2}dt\cdot f(x)=0$$
と見做せるから、
\begin{align} &e^{a\p^2}\cdot f(x)\\ &=\sqrt {\frac a\pi }\int^{+\infty}_{-\infty}e^{-at^2+2at\p}dt\cdot f(x)\\ &=\sqrt {\frac a\pi }\int^{+\infty}_{-\infty}e^{-at^2}f(x+2at)dt\\ &= {\frac 1{\sqrt{4\pi a}}}\int^{+\infty}_{-\infty}f(x-t)\exp\k{-\frac {t^2}{4a}}dt\\ &=\frac 1{\sqrt{4\pi a}}\int^\infty_{-\infty} f(t)\exp\left(-\frac {(x-t)^2}{4a}\right)dt \end{align}

となる。多変数化してみる。$N$次元空間$\boldsymbol x=(x_1,\ldots,x_N)$とナブラ$\nabla =\k{\frac\p{\p x_1},\ldots,\frac\p{\p x_N}}$について単純に掛け合わせると次を得る:
$$\exp\k{a\nabla^2}\cdot f(\boldsymbol x)=(4\pi a)^{-N/2}\int_{\R^N} f(\boldsymbol x')\exp\left(-\frac {(\boldsymbol x-\boldsymbol x')^2}{4a}\right)d^N\boldsymbol x'$$

物理の応用例について話す。$温度T(\boldsymbol x;t),定数\kappa,位置\boldsymbol x,時間t $として、熱伝導を規定する熱伝導方程式がある:
$$\frac{\p T}{\p t}=\kappa \nabla^2 \cdot T$$
時間並進を考えると$t=t_0+\Delta t$として解$T(\boldsymbol x;t)$は
$$T(\boldsymbol x;t)=\left. \exp\k{\Delta t\frac \p{\p t}}\cdot T(\boldsymbol x;t)\right|_{t=t_0}= \exp\k{\kappa\Delta t\nabla^2}\cdot T(\boldsymbol x;t_0)$$ なので
$$T(\boldsymbol x;t)=(4\pi \kappa\Delta t)^{-N/2}\int_{\R^N} T(\boldsymbol x';t_0)\exp\left(-\frac {(\boldsymbol x-\boldsymbol x')^2}{4\kappa\Delta t}\right)d^N\boldsymbol x'$$という結論が出る。Graph Laplacianのイメージを使えば、熱伝導方程式が熱伝導の基本的なイメージをそのまま定式化したものと自明に思うことができる (くわしくはこちら)

また、得られた積分についても Gaussian filter のイメージを使えば自明と思えるのである。Gaussian filterはGaussianぼかしとも呼ばれて、画像をぼかす処理をおこなう際に用いられており、画像の標準偏差$\sigma$のGaussianぼかしは2次元データの入力,出力$A(x_1,x_2),B(x_1,x_2)$にたいして$$B(x_1,x_2)=\frac1{2\pi \sigma^2}\int_{\R^2} A(\boldsymbol y)\exp\left(-\frac {(\boldsymbol x-\boldsymbol t)^2}{2\sigma^2}\right)d^2\boldsymbol y$$
と定義される。まさにこれはWeierstrass変換で$a=\sigma^2/2,N=2$とした結果に他ならない。
Fourier変換は後続の記事にて詳しく解説するのでお気持ち程度の言及にするが、$\exp(a\p^2)$は純粋に微分演算子$\p$だけを含み、乗算演算子$x$を含んでいない。なのでこれはFourier変換$\mathcal F$を用いて$$\exp(a\p^2)=\mathcal F\exp\k{-ax^2}\mathcal F^{-1}$$
と書ける。日本語で解釈すると逆フーリエ変換で(テキトーに区切りを入れて周期的境界を入れた)系を周波数成分になおして、Gauss分布を掛けて高周波数成分ほど急激に小さくなるようにしてFourier変換をしてもとに戻すといった操作をWeierstrass変換は行う。このことで高周波数成分(画像解析の例で言えば画像のくっきりさ)が消されてぼやけたイメージが残るのである。物理のイメージを援用するなら、画像の色相が熱伝播のように周囲に拡散して画像がぼやけるといった感じである。このようにWeierstrass変換はとても奥が深い。多変数化の途中で
$$\exp\k{a\nabla^2}=\prod_{i=1}^N\exp\k{a\frac {\p^2}{\p x_i^2}}$$
を使ったがこれはGaussianぼかしの直積性をしめしており、N次元のGaussianぼかしをおこなうことは正規直交な各軸の1次元Gaussianぼかしを計$N$回したものと一致するということがわかり、機械で実際に計算する場合は計算のオーダーがcutoff幅のN乗から1乗にまで落ちて有用である。