Gauss積分の一般化
(無限和と積分の交換可能性などの確認はしていません...)
自然数$m$, 実数$c_0,\ldots,c_{2m-1}$, 負の実数$c_{2m}$に対して, 次の等式が成立します: $$\begin{align}
&\int_{-\infty}^\infty \exp{\left( \sum_{k=0}^{2m}c_kx^k \right)}dx
\\
=&\dfrac{e^{c_0}{\left( -c_{2m} \right)}^{-1/(2m)}}{m}
\\
\times
&\sum_{
\substack{{\left( a_1,\ldots,a_{2m-1} \right)}\in\mathbb{N}^{2m-1}_0
\\
a_1+a_3+\cdots+a_{2m-1}\equiv 0\\ {\left( \mathrm{mod}.2 \right)}
}
}
\Gamma{\left( \dfrac{1}{2m}+\dfrac{1}{2m}\sum_{k=1}^{2m-1}ka_k \right)}
\prod_{\ell=1}^{2m-1}\dfrac{c^{a_\ell}_\ell{\left( -c_{2m} \right)}^{-\ell a_\ell/(2m)}}{a_\ell !}\end{align}$$
但し, $\mathbb{N}_0$は$\mathbb{N}\cup\left\{0\right\}$のことで, $\Gamma(x)$はガンマ関数です.
正の実数$a$, 非負整数$n$，正の整数$m$に対して成立する次の等式を示します: $$\begin{align}
\label{hodai} \tag{$*$}
\int_{-\infty}^\infty x^{n}e^{-ax^{2m}}dx
=\dfrac{1+(-1)^n}{2m}a^{-(n+1)/{2m}}\Gamma{\left( \dfrac{n+1}{2m} \right)}\end{align}$$$n$が奇数の場合, 被積分関数は奇関数なので$0$となります.$n$が偶数の場合は, $x: 0\to\infty$の積分の2倍となるので，$$\begin{align}
\int_{-\infty}^\infty x^{n}e^{-ax^{2m}}dx
={\left( 1+(-1)^n \right)}\int_0^\infty x^{n}e^{-ax^{2m}}dx\end{align}$$としてよいことが分かります.
$t:= ax^{2m}$と置換すると, $x=a^{-1/2m}t^{1/2m}$であって，$dx=a^{-1/2m}t^{-1+1/2m}dt/2m$となり，$a>0$を仮定しているので積分区間は$t: 0\to\infty$で，$$\begin{align}
&\int_0^\infty x^{n}e^{-ax^{2m}}dx=\int_0^\infty a^{-n/2m}t^{n/2m}\cdot\dfrac{a^{-1/2m}}{2m}t^{-1+1/2m}e^{-t}dt
\\
&=\dfrac{1}{2m}a^{-(n+1)/2m}\int_0^\infty t^{-1+(n+1)/2m}e^{-t}dt
\\
&=\dfrac{1}{2m}a^{-(n+1)/{2m}}\Gamma{\left( \dfrac{n+1}{2m} \right)}.\end{align}$$ よって，(\ref{hodai})が成立します.これを用いて主張の式を証明します.
指数法則を使うと，$$\begin{align}
&\int_{-\infty}^\infty \exp{\left( \sum_{k=0}^{2m}c_kx^k \right)}dx
=e^{c_0}\int_{-\infty}^\infty e^{c_{2m}x^{2m}}\exp{\left( \sum_{k=1}^{2m-1}c_k x^k \right)}dx\end{align}$$となり, 指数関数のMaclaurin展開及び，多項定理から, $$\begin{align}
&\exp{\left( \sum_{k=1}^{2m-1}c_k x^k \right)}
\\
&=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{1}{n!}{\left( \sum_{k=1}^{2m-1}c_k x^k \right)}^n
\\
&=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{1}{n!}\sum_{a_1+\cdots+a_{2m-1}=n}\dfrac{n!}{a_1!\cdots a_{2m-1}!}(c_1 x)^{a_1}\cdots (c_{2m-1}x^{2m-1})^{a_{2m-1}}
\\
&=\sum_{(a_1,\ldots,a_{2m-1})\in\mathbb{N}^{2m-1}_0}
\dfrac{
c^{a_1}_1\cdots c^{a_{2m-1}}_{2m-1}
}{a_1!\cdots a_{2m-1}!}
x^{a_1+2a_2+\cdots+(2m-1)a_{2m-1}}
\\
&=
\sum_{(a_1,\ldots,a_{2m-1})\in\mathbb{N}^{2m-1}_0}
x^{a_1+2a_2+\cdots+(2m-1)a_{2m-1}}
\prod_{k=1}^{2m-1}\dfrac{c^{a_k}_k}{a_k}\end{align}$$ となります.
これを代入して, 積分と無限和の順序交換を行うと, $$\begin{align}
&\int_{-\infty}^\infty \exp{\left( \sum_{k=0}^{2m}c_kx^k \right)}dx
\\
&=e^{c_0}\sum_{(a_1,\ldots,a_{2m-1})\in\mathbb{N}^{2m-1}_0}
\prod_{k=1}^{2m-1}\dfrac{c^{a_k}_k}{a_k}
\int_{-\infty}^\infty e^{c_{2m}x^{2m}}x^{a_1+2a_2+\cdots+(2m-1)a_{2m-1}}dx
\\
&=e^{c_0}\sum_{(a_1,\ldots,a_{2m-1})\in\mathbb{N}^{2m-1}_0}
{\left( \prod_{k=1}^{2m-1}\dfrac{c^{a_k}_k}{a_k} \right)}
\dfrac{1+(-1)^{a_1+2a_2+\cdots+(2m-1)a_{2m-1}}}{2m}
\nonumber
\\
&\times
{\left( -c_{2m} \right)}^{-(1+a_1+2a_2+\cdots+(2m-1)a_{2m-1})/2m}
\nonumber
\\
&\times
\Gamma{\left( \dfrac{1+a_1+2a_2+\cdots+(2m-1)a_{2m-1}}{2m} \right)}\end{align}$$ となります. ここで，途中に出てくる$1+(-1)^{a_1+2a_2+\cdots+(2m-1)a_{2m-1}}$の部分を見ると，$a_1+2a_2+\cdots+(2m-1)a_{2m-1}$が奇数だと0になるため，これが偶数になる部分だけ取ればよく, $$\begin{align}
&\sum_{k=1}^{2m-1}ka_k\equiv0\ \ (\mathrm{mod}.2)
\\
\Longleftrightarrow \ &\sum_{k'=1}^{m} (2k'-1)a_{2k'-1}+\sum_{k''=1}^{m-1} 2k''a_{2k''}\equiv0\ \ (\mathrm{mod}.2)
\\
\Longleftrightarrow \ &\sum_{k'=1}^m a_{2k'-1}\equiv0\ \ (\mathrm{mod}.2)\end{align}$$ この条件の下では，$1+(-1)^{a_1+2a_2+\cdots+(2m-1)a_{2m-1}}=2$なので, それを適用し，総和・総乗記号を使ってまとめれば, $$\begin{align}
&\int_{-\infty}^\infty \exp{\left( \sum_{k=0}^{2m}c_kx^k \right)}dx
\\
=&\dfrac{e^{c_0}{\left( -c_{2m} \right)}^{-1/(2m)}}{m}
\\
\times
&\sum_{
\substack{{\left( a_1,\ldots,a_{2m-1} \right)}\in\mathbb{N}^{2m-1}_0
\\
a_1+a_3+\cdots+a_{2m-1}\equiv 0\\ {\left( \mathrm{mod}.2 \right)}
}
}
\Gamma{\left( \dfrac{1}{2m}+\dfrac{1}{2m}\sum_{k=1}^{2m-1}ka_k \right)}
\prod_{\ell=1}^{2m-1}\dfrac{c^{a_\ell}_\ell{\left( -c_{2m} \right)}^{-\ell a_\ell/(2m)}}{a_\ell !}\end{align}$$が分かりました.
(この記事はBloggerに載せていた Gauss積分の一般化 を書き直したものです.)
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