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4回回転対称性の拡張

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 本記事は 日曜数学 Advent Calender 2021 の16日目として書かれています.

回転対称性

 我々が図形を見て感じる対称性にはいくつか種類があります.まず,それらを意識的に捉えて議論するには共通する特徴に着目しましょう.それは「ある操作を施しても形が不変であること」です.
Wolfram MathWorldより Wolfram MathWorldより
 その観点に立って,例えば代表的な対称性である回転対称を定義すると次のようになります.

n回対称

nを自然数とする.
平面図形Dn回対称であるとは,ある点Pが存在してPを中心とする2πn回転についてDが不変であることをいう.

 さて,今回考えたいのはグラデーションをもって対称性を捉えることです.上の定義にもとづけば,図形に対して対称性は「あるかないか」という二値で判断することになります.しかしながら,現実世界では「対称っぽい」と感じるものも多くあります.こういった対象についても感覚のみに頼らない議論をしたいというモチベーションが湧きます.
 そこで今回は,凸図形に対する4回対称性を取り上げ,「4回対称性への近さ」を新たな尺度として定義しようという試みを紹介します.

ある自作パズル

 考える契機となったのは次の自作パズルです.

ユークリッド平面上に有界閉凸領域Dと直線lがある.ただし,Dの面積は0でないとする.
lによってDが面積の等しい2つの領域D1,D2に分けられているとき,D1,D2の面積を同時に2等分する直線がただ一つ存在する.

 解答は こちら に書いていますのでよろしければご覧ください.なかなか面白い解法だと思います.後にパンケーキの定理を知って驚きました.本定理はその亜種にあたり,凸制約を課すことで一意性までを主張しています.

 これがどのように4回対称へつながるか説明します.もし図形が4回対称性を持つならば,その回転中心で直交する2つの直線によって4つの合同な部分に分けられます.特に面積を持つときは4つの等積な部分に分けられるといえます.そこで,面積を4等分する2直線の交角のπ2への近さを所望の尺度として取り出せばよいのではないかと思いつきました.面積を等分する2直線の組のうち一方が与えられればもう一方は一意に定まることを主張しているのが上記のパズルです.

4回対称性へ

 前の話に加えて,面積を2等分する直線は傾きが与えられるとちょうど一つずつ存在しますから,等分する2直線の組をこの傾きにより捕捉できます.ただし,それでも一般に面積を等分する2直線の組というのは無数にありますし,交角の最大値について次のことが成り立ちます.

ユークリッド平面上に有界閉凸領域Dがある.
このとき,Dの面積を4等分する2直線l,mであって直交するものが存在する.

 よって,擬4回対称を定式化するには交角の最小値が適した数値であると言えそうです.すなわち,ユークリッド平面上の有界閉凸領域Dに対して,Dの面積を4等分する2直線のなす(小なる方の)角の大きさの下限をφ(D) (0φ(D)π2)とします(これは最小値にもなっています).すると晴れて擬4回対称の定義が得られます.

4回対称

c(0,1]とする.
平面上の有界閉なる凸図形Dc-擬4回対称であるとは,
φ(D)=π2c
となることをいう.

 ただちに次のことがわかります.

D4回対称D1-擬4回対称

 この逆は未解決のまま放置しています.

D1-擬4回対称D4回対称
すなわち,Dの面積を4等分するどんな2直線l,mも直交するならば,D4回対称である.

 例えば4回対称に最も近い三角形はなんでしょうか?あるいは平べったい二等辺三角形を考えれば4回対称性からいくらでも遠ざけることができます.色々と考えたいものが出てきますね.少しでもワクワクしていただけたら幸いです.

投稿日:20211215
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つむり
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図形っぽいこと? あまり専門的な話題について書くつもりはありません. interested in 位相幾何/群論

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