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ケーラー多様体のホッジ分解について(自分用備忘録)

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ここではKhler多様体のHodge分解について解説します。

はじめに

この記事ではKahler多様体のHodge分解についてのステートメントを理解するのに必要な諸概念を紹介していきましょう。前提知識として簡単な代数・多様体の基本事項・層の理論・導来関手についての基本事項を仮定します。(加筆していく過程で前提知識を徐々に減らしていく予定です)

複素多様体について

複素多様体の基本事項

Xを実2n次元可微分多様体とします。

X複素構造をもつとは、Xの開被覆{Ui}iI及び開埋め込みϕi:UiCn
ϕiϕj1
を満たすものが存在することである。このとき、X複素多様体と呼ぶ。

複素多様体X上の写像f:XC正則であるとは、
fϕj1
を満たすことである

複素多様体X上の可微分C係数ベクトル束πE:EX正則構造をもつとは、局所自明化{τi:π1(Ui)Ui×Cn}で、
τij=τjτi1
を満たすものが存在することである。このとき、πE正則ベクトル束という。

 ここまでは通常の多様体論とさして違いはありません。次に概複素構造と可積分性の話をしましょう。そのためにまず、複素多様体には「i倍」が定まる話をします。とはいっても、多様体上に定めるのは厳しそうなので、接ベクトルにそういうものが定められないか考えてみます。
 複素多様体Uiでの接束TUi,Rを考えます。このとき、ϕi:TUi,RUi×Cnを取ることができます。そこで
Ii=ϕi1iϕi
と定めます。このときIiたちを貼り合わせることができますが、張り合わせたものがC-同型I:TX,RTX,Rを定め、2回合成すれば1倍を定めることは容易に確認できます。ここで概複素構造の定義を見てみましょう。

可微分多様体X概複素構造を持つとは、R-同型I:TXTX
I2=1
を満たすものが存在することである。

 ここで複素構造が自然に概複素構造を定めることは上で見た通りです。逆は常には成り立ちませんが、これが成り立つ状況が可積分性です。

可微分多様体X上の概複素構造I可積分であるとは、Xが上記の手順で概複素構造Iを誘導するような複素構造を持つことである。

 次にXが複素多様体の場合の、複素ベクトル束としてみたTX,RXの正則接束TXの関係について考えてみましょう。ただし後者は未定義なので、まずこれを定義するところから始めます。まずTUiを、Uiに於ける局所座標(z1,...,zn)=(x1,y1,...,xn,yn)としたとき、
zi=12(xiiyi)
たちで生成されるTUi,C:=TUi,RRCの部分空間とします。各TUiを貼り合わせることでTX(TX,C:=TX,RRC)が定まります。これが正則接束です。
 次にXが概複素構造であるとき、Iの固有値iの固有ベクトルで生成される空間をTX1,0(TX,C)と表記します。ここでTX,RTX1,0の間には
uuiIu
R-同型が定まっていることに注意しておきましょう。ここでTX,RTXの関係について述べることができます。

複素多様体Xに対して、TXTX1,0TX,Cの複素部分束として同型

時間のある時に追記します。

Frobeniusの定理

時間のある時に追記します

Newlander-Nirenbergの定理

時間のある時に追記します

Kahler多様体について

準備

作成中...

Kahler多様体の定義

概複素多様体(M,I)のHermite形式hKahlerであるとは、
1.Iが可積分
2.実2-形式ω:=Im(h)が閉形式
を満たすことである。このときMKahler多様体という。

Kahler多様体の性質

作成中...

層について

層の基本事項

時間のある時に追記します

導来関手

時間のある時に追記します

層のコホモロジー

位相空間Xとその上のアーベル群の層Fを考え、Γ(X,F)を大域切断とします。ここでアーベル群の層の圏は充分単射的対象をもつので、関手FΓ(X,F)には右導来関手FRiΓ(X,F)が定まるので、
Hi(X,F):=RiΓ(X,F)
と定めます。特にFが群Gを係数に持つ定数層のとき、これをHi(X,G)と表記します。ここで以下の事実があります。

コンパクト可微分多様体X及び標数0の体Kについて、定数層の包含ZKから同型
Hi(X,Z)ZKHi(X,K)
が誘導される。

時間がある時に追記します。

Hodge構造について

ランク有限自由Z-加群VZ重さkの整Hodge構造を持つとは、VC:=VZZCが分解
VC=p+q=kVp,q
Vq,p=Vp,qを満たすものが存在することである。

コンパクトKahler多様体のHodge分解

ステートメント

コンパクトKahler多様体Xの層係数コホモロジー群Hi(X,Z)は重さiの整Hodge構造を持つ

証明の概略

まずHi(X,Z)ZKHi(X,K)なので、Hi(X,C)が上記のような分解を持つことを示すことに帰着されます。(以下作成中...)

投稿日:20211216
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藍色の日々。趣味の数学と院試の過去問の(間違ってるかもしれない雑な)解答例を上げていきます。リンクはX(旧Twitter)アカウント 

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