ここではKhler多様体のHodge分解について解説します。
はじめに
この記事ではKahler多様体のHodge分解についてのステートメントを理解するのに必要な諸概念を紹介していきましょう。前提知識として簡単な代数・多様体の基本事項・層の理論・導来関手についての基本事項を仮定します。(加筆していく過程で前提知識を徐々に減らしていく予定です)
複素多様体について
複素多様体の基本事項
を実次元可微分多様体とします。
が複素構造をもつとは、の開被覆及び開埋め込みで
を満たすものが存在することである。このとき、を複素多様体と呼ぶ。
複素多様体上の写像が正則であるとは、
を満たすことである
複素多様体上の可微分係数ベクトル束が正則構造をもつとは、局所自明化で、
を満たすものが存在することである。このとき、を正則ベクトル束という。
ここまでは通常の多様体論とさして違いはありません。次に概複素構造と可積分性の話をしましょう。そのためにまず、複素多様体には「倍」が定まる話をします。とはいっても、多様体上に定めるのは厳しそうなので、接ベクトルにそういうものが定められないか考えてみます。
複素多様体での接束を考えます。このとき、を取ることができます。そこで
と定めます。このときたちを貼り合わせることができますが、張り合わせたものが-同型を定め、2回合成すれば倍を定めることは容易に確認できます。ここで概複素構造の定義を見てみましょう。
可微分多様体が概複素構造を持つとは、-同型で
を満たすものが存在することである。
ここで複素構造が自然に概複素構造を定めることは上で見た通りです。逆は常には成り立ちませんが、これが成り立つ状況が可積分性です。
可微分多様体上の概複素構造が可積分であるとは、が上記の手順で概複素構造を誘導するような複素構造を持つことである。
次にが複素多様体の場合の、複素ベクトル束としてみたとの正則接束の関係について考えてみましょう。ただし後者は未定義なので、まずこれを定義するところから始めます。まずを、に於ける局所座標としたとき、
たちで生成されるの部分空間とします。各を貼り合わせることでが定まります。これが正則接束です。
次にが概複素構造であるとき、の固有値の固有ベクトルで生成される空間をと表記します。ここでとの間には
で-同型が定まっていることに注意しておきましょう。ここでとの関係について述べることができます。
Frobeniusの定理
時間のある時に追記します
Newlander-Nirenbergの定理
時間のある時に追記します
Kahler多様体について
準備
作成中...
Kahler多様体の定義
概複素多様体のHermite形式がKahlerであるとは、
1.が可積分
2.実-形式が閉形式
を満たすことである。このときをKahler多様体という。
Kahler多様体の性質
作成中...
層について
層の基本事項
時間のある時に追記します
導来関手
時間のある時に追記します
層のコホモロジー
位相空間とその上のアーベル群の層を考え、を大域切断とします。ここでアーベル群の層の圏は充分単射的対象をもつので、関手には右導来関手が定まるので、
と定めます。特にが群を係数に持つ定数層のとき、これをと表記します。ここで以下の事実があります。
コンパクト可微分多様体及び標数の体について、定数層の包含から同型
が誘導される。
Hodge構造について
ランク有限自由-加群が重さの整Hodge構造を持つとは、が分解
でを満たすものが存在することである。
コンパクトKahler多様体のHodge分解
ステートメント
コンパクトKahler多様体の層係数コホモロジー群は重さの整Hodge構造を持つ
証明の概略
まずなので、が上記のような分解を持つことを示すことに帰着されます。(以下作成中...)