成分による行列式のn階偏微分

この記事では縮約記法を使います。

成分による行列式の$1$階微分

$a$という行列に微小な量を成分に持つ行列$\delta a$を足して$a+\delta a$という行列に変えるとき、$\ln \det a$という値がどう変わるかを考えます。
$$\begin{array}{rl}\delta (\ln \det a)& =\ln \det (a+\delta a)-\ln \det a\\ & =\ln \det (1+a^{-1}\delta a)\end{array}$$
と変形できます。ここで、$\delta a_{ij}$の$2$次以上の項を無視することにすると、行列式で残るのは対角成分の積を取った項だけ、その中でも$1+\mathrm{tr}(a^{-1}\delta a)$までが$\delta a_{ij}$の$1$次の項として残ります。
$$\begin{array}{rl}\delta (\ln \det a)& \simeq {\ln }^{1+\mathrm{tr}(a^{-1}\delta a)}(\delta a_{ij}\text{ の}2\text{次以上は無視})\\ & \simeq \mathrm{tr}{a}^{-1}\delta a(\delta a_{ij}\text{ の}2\text{次以上は無視})\\ & =(a^{-1}{)}^{ji}\delta a_{ij}\end{array}$$
$\ln \det a$という値がどう変わるかは分かりました。ところで$\ln$の微分を考えると
$$\delta (\ln \det a)={\displaystyle \frac{\delta \det a}{\det a}}$$
となることから
$$\begin{array}{rl}\delta \det a& =(\det a)(a^{-1}{)}^{ji}\delta a_{ij}\\ \therefore {\displaystyle \frac{\partial \det a}{\partial a_{ij}}}& =(\det a)(a^{-1}{)}^{ji}\end{array}$$
こうして成分による行列式の$1$階偏微分が求まります。

例

$2$次正方行列で確かめてみましょう。
$$\begin{array}{rl}A& =\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right],A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{ad-bc}}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]\\ d& ={\displaystyle \frac{\partial \det A}{\partial a}}=(ad-bc)\cdot {\displaystyle \frac{d}{ad-bc}}=d\end{array}$$
正しそうです。

成分による逆行列の成分の微分

一般化の準備として逆行列の成分の変分も計算しておきます。
$$\begin{array}{rl}(a^{-1}{)}^{ij}{a}_{jk}& ={\delta }_k^i(\text{変分の}\delta \text{とKroneckerの}\delta \text{がややこしい})\\ \therefore \delta (a^{-1}{)}^{ij}{a}_{jk}& =-(a^{-1}{)}^{il}\delta a_{lk}\\ \therefore \delta (a^{-1}{)}^{ij}& =-(a^{-1}{)}^{il}\delta a_{lk}(a^{-1}{)}^{kj}(j\text{を}m\text{に書き換え、両辺に}(a^{-1}{)}^{kj}をかける)\end{array}$$
逆行列の成分の、元の行列の成分による変分が求まりました。

成分による行列式の$n$階微分

数学的帰納法を使います。成分による行列式の$n-1$階微分が
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{{\partial }^{n-1}\det a}{\partial a_{i_1{j}_1}\cdots \partial a_{i_{n-1}{j}_{n-1}}}}& =\det a\sum _{\sigma \in {\mathfrak{S}}_{n-1}}\mathrm{sgn}\sigma (a^{-1}{)}^{j_1{i}_{\sigma (1)}}\cdots (a^{-1}{)}^{j_{n-1}{i}_{\sigma (n-1)}}\\ & =\det a\sum _{\sigma \in {\mathfrak{S}}_{n-1}}\mathrm{sgn}\sigma \prod _{\mu =1}^{n-1}(a^{-1}{)}^{j_{\mu }{i}_{\sigma (\mu )}}\end{array}$$
と書かれているとします。これは$n-1=1$とすれば上で求めた、成分による行列式の$1$階偏微分に一致しますね。このとき$n-1$階微分の変分は
$$\begin{array}{rl}\delta \left[{\displaystyle \frac{{\partial }^{n-1}\det a}{\partial a_{i_1{j}_1}\cdots \partial a_{i_{n-1}{j}_{n-1}}}}\right]& =(\det a)(a^{-1}{)}^{j_n{i}_n}\delta a_{i_n{j}_n}\cdot \sum _{\sigma \in {\mathfrak{S}}_{n-1}}\mathrm{sgn}\sigma \prod _{\mu =1}^{n-1}(a^{-1}{)}^{j_{\mu }{i}_{\sigma (\mu )}}\\ & +\sum _{\nu =1}^{n-1}\det a\sum _{\sigma \in {\mathfrak{S}}_{n-1}}\mathrm{sgn}\sigma \prod _{\mu \ne \nu }(a^{-1}{)}^{j_{\mu }{i}_{\sigma (\mu )}}\cdot (-1)(a^{-1}{)}^{j_{\nu }{i}_n}\delta a_{i_n{j}_n}(a^{-1}{)}^{j_n{i}_{\sigma (\nu )}}\end{array}$$
ここで、
$$\left(\begin{array}{cccc}1& \cdots & n-1& n\\ \sigma (1)& \cdots & \sigma (n-1)& n\end{array}\right)$$
という置換の符号は$\mathrm{sgn}\sigma$に等しく、
$$\left(\begin{array}{cccccc}1& \cdots & \nu & \cdots & n-1& n\\ \sigma (1)& \cdots & n& \cdots & \sigma (n-1)& \sigma (\nu )\end{array}\right)$$
という置換の符号は$-\mathrm{sgn}\sigma$に等しいので、結局
$$\begin{array}{rl}\delta \left[{\displaystyle \frac{{\partial }^{n-1}\det a}{\partial a_{i_1{j}_1}\cdots \partial a_{i_{n-1}{j}_{n-1}}}}\right]& =\det a\sum _{\sigma \in {\mathfrak{S}}_n}\mathrm{sgn}\sigma \prod _{\mu =1}^n(a^{-1}{)}^{j_{\mu }{i}_{\sigma (\mu )}}\delta a_{i_n{j}_n}\\ \therefore {\displaystyle \frac{{\partial }^n\det a}{\partial a_{i_1{j}_1}\cdots \partial a_{i_n{j}_n}}}& =\det a\sum _{\sigma \in {\mathfrak{S}}_n}\mathrm{sgn}\sigma \prod _{\mu =1}^n(a^{-1}{)}^{j_{\mu }{i}_{\sigma (\mu )}}\\ & =\det a\sum _{\sigma \in {\mathfrak{S}}_n}\mathrm{sgn}\sigma (a^{-1}{)}^{j_1{i}_{\sigma (1)}}\cdots (a^{-1}{)}^{j_n{i}_{\sigma (n)}}\end{array}$$
となり、数学的帰納法から成分による行列式の$n$階微分が求まりました。

例

$2$階微分の場合を$3$次正方行列で確かめてみましょう。
$$\begin{array}{c}A=\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right],\det A=aei+bfg+cdh-afh-bdi-ceg,\\ A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\det A}}\left[\begin{array}{ccc}ei-fh& ch-bi& bf-ce\\ fg-di& ai-cg& cd-af\\ dh-eg& bg-ah& ae-bd\end{array}\right]\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}-h& ={\displaystyle \frac{\partial \det A}{\partial a\partial f}}={\displaystyle \frac{\partial \det A}{\partial A_{11}\partial A_{23}}}=\det A((A^{-1}{)}^{11}(A^{-1}{)}^{32}-(A^{-1}{)}^{12}(A^{-1}{)}^{31})\\ & ={\displaystyle \frac{(ei-fh)(bg-ah)-(ch-bi)(dh-eg)}{\det A}}\\ & ={\displaystyle \frac{(-aei-fbg+ceg+bid)h+(af-cd)h^2}{aei+bfg+cdh-afh-bdi-ceg}}=-h\end{array}$$
となって成り立ちます。$begi$の項が打ち消されて$h$の係数がちょうど$-\det A$になるとはよくできていますね。