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自作問題の解説

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自作問題の解説

この記事では, 私が過去に作った自作問題の解説を書いていこうと思います.

大学受験のような問題ですので, 少しつまらないと思われるかもしれませんが, 許してください.

fn(x)=x3n2nx24nx+n とし, xの方程式 fn(x)=0 の解を小さい順にαn,βnγnとします. αn,βnγngrowthを求めてください.

ただし, growthを求めるとは, この場合, limnαnan=1 なる数列anであって an=pnqrn の形でかけるものが存在するので, そのようなp,q,rを求めるということです. (αnpnqrnが大体等しくなるということです. ) ちなみに, これを αnan と書きます.

まずは, fn(x)=03つの実解を持つことを確認しましょう.

f(0)=n>0, f(1)=14n+n(12n)<0
また, limxf(x)=, limxf(x)= なので, 中間値の定理のように考えれば, fn(x)=0x<0, 0<x<1, 1<x にそれぞれ1解ずつ持つことがわかりました.

従って 0<βn<1 がわかったので, βn0 と予想することができます.

そこで, f(n4n) を考えてみると, (最後の2項が打ち消すようにしました)
f(n4n)=n(n4n)2(14n2n)<0 となっているので, f(0)>0と併せて 0<βn<n4n とわかり, limnβn=0 が示せました.

次に, 解と係数の関係の利用を考えます. 即ち,
αn+βn+γn=n2n (1)
αnβn+βnγn+γnαn=4n (2)
αnβnγn=n (3)
これらを用いて考えていきます.

(1)式の両辺をn2nで割ると, limnβnn2n=0 なので,
limnαn+γnn2n=1 (4) が分かります.

(2)式を (αn+γn)βn+αnγn=4n と書いて, 両辺をn24nで割ると,
αn+γnn2nβnn2n+αnn2nγnn2n=1n2 となります.

αn+γnn2n1, βnn2n0 なので,
limnαnn2nγnn2n=0 (5) が分かります.

(4)式と(5)式は, 和と積ですので, αn<γnと併せて, αnn2n0, γnn2n1 と予想できます. (これらの極限が存在するかはわからないので, まだ断言はできません. )

そこで, f(2n)を考えてみると,
f(2n)=n(18n)<0 となるので, f(0)>0と併せて 2n<αn<0 と分かり, limnαnn2n=0 が示せます.

これと(4)式より, limnγnn2n=1 と分かりました! 従って, γnn2n です.

今度は (2)式を (αn+γn)βn+αnγn=4n と書いて, 両辺を4nで割ってみます. すると,
αn+γnn2nnβn2n+nαn2nγnn2n=1
と書けます.

βn0, n2n0 より nβn2n0 で, また(4)式よりαn+γnn2nは有限の値に収束するので, 第1項は0に収束し,
limnnαn2nγnn2n=1
が分かります. ここで limnγnn2n=1 だったので, limnnαn2n=1と分かりました! 従って αn2nn です.

最後に(3)式を用いて βnについて考えます.(3)式は
4nβnnnαn2nγnn2n=1
と書けますので, 両辺でn とすることで, limn4nβnn=1 と分かります! 従って, βnn4n です.

まとめると, fn(x)=x3n2nx24nx+n の根 αn,βn,γngrowthは,
αn2nn, βnn4n, γnn2n
のようになることが分かりました.

読んでくださった方, ありがとうございました. いろいろな係数の多項式の根のgrowthを調べてみると面白いです.

投稿日:2020118
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投稿者

東大数理M1

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