自作問題の解説

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自作問題の解説

この記事では, 私が過去に作った自作問題の解説を書いていこうと思います.

大学受験のような問題ですので, 少しつまらないと思われるかもしれませんが, 許してください.

$f_{n} (x) = x^{3} - n 2^{n} x^{2} - 4^{n} x + n$ とし, $x$ の方程式 $f_{n} (x) = 0$ の解を小さい順に $α_{n}, β_{n} γ_{n}$ とします. $α_{n}, β_{n} γ_{n}$ の $growth$ を求めてください.

ただし, $growth$ を求めるとは, この場合, $lim_{n \to \infty} \frac{α_{n}}{a_{n}} = 1$ なる数列 $a_{n}$ であって $a_{n} = p \cdot n^{q} \cdot r^{n}$ の形でかけるものが存在するので, そのような $p, q, r$ を求めるということです. ( $α_{n}$ と $p n^{q} r^{n}$ が大体等しくなるということです. ) ちなみに, これを $α_{n} \sim a_{n}$ と書きます.

まずは, $f_{n} (x) = 0$ が $3$ つの実解を持つことを確認しましょう.

$f (0) = n > 0, f (1) = 1 - 4^{n} + n (1 - 2^{n}) < 0$
また, $lim_{x \to - \infty} f (x) = - \infty, lim_{x \to \infty} f (x) = \infty$ なので, 中間値の定理のように考えれば, $f_{n} (x) = 0$ は $x < 0, 0 < x < 1, 1 < x$ にそれぞれ $1$ 解ずつ持つことがわかりました.

従って $0 < β_{n} < 1$ がわかったので, $β_{n} \to 0$ と予想することができます.

そこで, $f (\frac{n}{4^{n}})$ を考えてみると, (最後の $2$ 項が打ち消すようにしました)
$f (\frac{n}{4^{n}}) = n (\frac{n}{4^{n}})^{2} (\frac{1}{4^{n}} - 2^{n}) < 0$ となっているので, $f (0) > 0$ と併せて $0 < β_{n} < \frac{n}{4^{n}}$ とわかり, $lim_{n \to \infty} β_{n} = 0$ が示せました.

次に, 解と係数の関係の利用を考えます. 即ち,
$α_{n} + β_{n} + γ_{n} = n 2^{n}$ $\dots (1)$
$α_{n} β_{n} + β_{n} γ_{n} + γ_{n} α_{n} = - 4^{n}$ $\dots (2)$
$α_{n} β_{n} γ_{n} = - n$ $\dots (3)$
これらを用いて考えていきます.

$(1)$ 式の両辺を $n 2^{n}$ で割ると, $lim_{n \to \infty} \frac{β_{n}}{n 2^{n}} = 0$ なので,
$lim_{n \to \infty} \frac{α_{n} + γ_{n}}{n 2^{n}} = 1$ $\dots (4)$ が分かります.

$(2)$ 式を $(α_{n} + γ_{n}) β_{n} + α_{n} γ_{n} = - 4^{n}$ と書いて, 両辺を $n^{2} 4^{n}$ で割ると,
$\frac{α_{n} + γ_{n}}{n 2^{n}} \cdot \frac{β_{n}}{n 2^{n}} + \frac{α_{n}}{n 2^{n}} \cdot \frac{γ_{n}}{n 2^{n}} = - \frac{1}{n^{2}}$ となります.

$\frac{α_{n} + γ_{n}}{n 2^{n}} \to 1, \frac{β_{n}}{n 2^{n}} \to 0$ なので,
$lim_{n \to \infty} \frac{α_{n}}{n 2^{n}} \cdot \frac{γ_{n}}{n 2^{n}} = 0$ $\dots (5)$ が分かります.

$(4)$ 式と $(5)$ 式は, 和と積ですので, $α_{n} < γ_{n}$ と併せて, $\frac{α_{n}}{n 2^{n}} \to 0, \frac{γ_{n}}{n 2^{n}} \to 1$ と予想できます. (これらの極限が存在するかはわからないので, まだ断言はできません. )

そこで, $f (- 2^{n})$ を考えてみると,
$f (- 2^{n}) = n (1 - 8^{n}) < 0$ となるので, $f (0) > 0$ と併せて $- 2^{n} < α_{n} < 0$ と分かり, $lim_{n \to \infty} \frac{α_{n}}{n 2^{n}} = 0$ が示せます.

これと $(4)$ 式より, $lim_{n \to \infty} \frac{γ_{n}}{n 2^{n}} = 1$ と分かりました！従って, $γ_{n} \sim n 2^{n}$ です.

今度は $(2)$ 式を $(α_{n} + γ_{n}) β_{n} + α_{n} γ_{n} = - 4^{n}$ と書いて, 両辺を $4^{n}$ で割ってみます. すると,
$\frac{α_{n} + γ_{n}}{n 2^{n}} \cdot \frac{n β_{n}}{2^{n}} + \frac{n α_{n}}{2^{n}} \cdot \frac{γ_{n}}{n 2^{n}} = - 1$
と書けます.

$β_{n} \to 0, \frac{n}{2^{n}} \to 0$ より $\frac{n β_{n}}{2^{n}} \to 0$ で, また $(4)$ 式より $\frac{α_{n} + γ_{n}}{n 2^{n}}$ は有限の値に収束するので, 第 $1$ 項は $0$ に収束し,
$lim_{n \to \infty} \frac{n α_{n}}{2^{n}} \cdot \frac{γ_{n}}{n 2^{n}} = - 1$
が分かります. ここで $lim_{n \to \infty} \frac{γ_{n}}{n 2^{n}} = 1$ だったので, $lim_{n \to \infty} \frac{n α_{n}}{2^{n}} = - 1$ と分かりました！従って $α_{n} \sim - \frac{2^{n}}{n}$ です.

最後に $(3)$ 式を用いて $β_{n}$ について考えます. $(3)$ 式は
$\frac{4^{n} β_{n}}{n} \cdot \frac{n α_{n}}{2^{n}} \cdot \frac{γ_{n}}{n 2^{n}} = - 1$
と書けますので, 両辺で $n \to \infty$ とすることで, $lim_{n \to \infty} \frac{4^{n} β_{n}}{n} = 1$ と分かります！従って, $β_{n} \sim \frac{n}{4^{n}}$ です.

まとめると, $f_{n} (x) = x^{3} - n 2^{n} x^{2} - 4^{n} x + n$ の根 $α_{n}, β_{n}, γ_{n}$ の $growth$ は,
$α_{n} \sim - \frac{2^{n}}{n}, β_{n} \sim \frac{n}{4^{n}}, γ_{n} \sim n 2^{n}$
のようになることが分かりました.