自作問題の解説
この記事では, 私が過去に作った自作問題の解説を書いていこうと思います.
大学受験のような問題ですので, 少しつまらないと思われるかもしれませんが, 許してください.
とし, の方程式 の解を小さい順にとします. のを求めてください.
ただし, を求めるとは, この場合, なる数列であって の形でかけるものが存在するので, そのようなを求めるということです. (とが大体等しくなるということです. ) ちなみに, これを と書きます.
まずは, がつの実解を持つことを確認しましょう.
また, なので, 中間値の定理のように考えれば, は にそれぞれ解ずつ持つことがわかりました.
従って がわかったので, と予想することができます.
そこで, を考えてみると, (最後の項が打ち消すようにしました)
となっているので, と併せて とわかり, が示せました.
次に, 解と係数の関係の利用を考えます. 即ち,
これらを用いて考えていきます.
式の両辺をで割ると, なので,
が分かります.
式を と書いて, 両辺をで割ると,
となります.
なので,
が分かります.
式と式は, 和と積ですので, と併せて, と予想できます. (これらの極限が存在するかはわからないので, まだ断言はできません. )
そこで, を考えてみると,
となるので, と併せて と分かり, が示せます.
これと式より, と分かりました! 従って, です.
今度は 式を と書いて, 両辺をで割ってみます. すると,
と書けます.
より で, また式よりは有限の値に収束するので, 第項はに収束し,
が分かります. ここで だったので, と分かりました! 従って です.
最後に式を用いて について考えます.式は
と書けますので, 両辺で とすることで, と分かります! 従って, です.
まとめると, の根 のは,
のようになることが分かりました.
読んでくださった方, ありがとうございました. いろいろな係数の多項式の根のを調べてみると面白いです.