積分解説4

今回はこちらの積分botさんの積分を解説します。

https://twitter.com/integralsbot/status/1471498567898779649?s=21

${\displaystyle I={\int }_{-1}^1\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\log \frac{1+2x+2x^2}{1-2x+2x^2}\frac{dx}{x}}$
$={\displaystyle {\int }_0^1\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\log \frac{1+2x+2x^2}{1-2x+2x^2}\frac{dx}{x}+{\int }_0^1\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\log \frac{1+2x+2x^2}{1-2x+2x^2}\frac{dx}{x}}$
$={\displaystyle 2{\int }_0^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\log \frac{(1+x{)}^2+x^2}{(1-x{)}^2+x^2}\frac{dx}{x}}$
$={\displaystyle 4\mathrm{Re}{\int }_0^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\log \frac{1+(1+i)x}{1+(-1+i)x}\frac{dx}{x}}$
${\displaystyle I(\zeta ):={\int }_0^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\log (1+\zeta x)\frac{dx}{x}}$
${\displaystyle \frac{\partial I(\zeta )}{\partial \zeta }={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{dx}{1+\zeta \sin x}}$
$={\displaystyle {\int }_0^1\frac{1}{1+\zeta ･\frac{2t}{1+t^2}}\frac{2dt}{1+t^2}}$
$={\displaystyle 2{\int }_0^1\frac{dt}{(t+\zeta {)}^2+(1-{\zeta }^2)}}$
$={\displaystyle \frac{2\pi }{\sqrt{1-{\zeta }^2}}{\tan }^{-1}\frac{1-\zeta }{\sqrt{1-{\zeta }^2}}}$
ここで${\displaystyle {\tan }^{-1}}$の中身を約分しなかったのは、${\displaystyle \zeta }$が複素変数であるためです。
両辺$\zeta$について積分して
${\displaystyle I(\zeta )=-2({\tan }^{-1}\frac{1-\zeta }{\sqrt{1-{\zeta }^2}}{)}^2+C}$
(積分定数は求まりますが、後で打ち消されるので気にしません。)
また、ここから${\displaystyle \sqrt{1\pm 2i}=\sqrt{\varphi }\pm \frac{1}{\sqrt{\varphi }}i}$を用います。これは倍角公式などから直ちに導けます。
${\displaystyle I=4\mathrm{Re}(I(1+i)-I(-1+i))}$
$={\displaystyle 8\mathrm{Re}(({\tan }^{-1}\frac{2-i}{\sqrt{1+2i}}{)}^2-({\tan }^{-1}\frac{-i}{\sqrt{1-2i}}{)}^2)}$
$={\displaystyle 8\mathrm{Re}({\tan }^{-1}\frac{-i(\sqrt{\varphi }+\frac{1}{\sqrt{\varphi }}i{)}^2}{\sqrt{\varphi }+\frac{1}{\sqrt{\varphi }}i}+{\tan }^{-1}\frac{-i}{\sqrt{\varphi }-\frac{1}{\sqrt{\varphi }}i})({\tan }^{-1}\frac{-i(\sqrt{\varphi }+\frac{1}{\sqrt{\varphi }}i{)}^2}{\sqrt{\varphi }+\frac{1}{\sqrt{\varphi }}i}-{\tan }^{-1}\frac{-i}{\sqrt{\varphi }-\frac{1}{\sqrt{\varphi }}i})}$
$={\displaystyle 8\mathrm{Re}{\tan }^{-1}(\frac{(\frac{1}{\sqrt{\varphi }}-\sqrt{\varphi }i)+(\frac{i}{\sqrt{\varphi }-\frac{1}{\sqrt{\varphi }}i})}{1-(\frac{1}{\sqrt{\varphi }}-\sqrt{\varphi }i)(\frac{i}{\sqrt{\varphi }-\frac{1}{\sqrt{\varphi }}i})})･{\tan }^{-1}(\frac{(\frac{1}{\sqrt{\varphi }}-\sqrt{\varphi }i)-(\frac{i}{\sqrt{\varphi }-\frac{1}{\sqrt{\varphi }}i})}{1+(\frac{1}{\sqrt{\varphi }}-\sqrt{\varphi }i)(\frac{i}{\sqrt{\varphi }-\frac{1}{\sqrt{\varphi }}i})})}$
$={\displaystyle -8\mathrm{Re}{\tan }^{-1}\frac{1}{\sqrt{\varphi }}{\tan }^{-1}\sqrt{\varphi }i}$
$={\displaystyle 8{\tan }^{-1}\frac{1}{\sqrt{\varphi }}\mathrm{Re}\frac{1}{2i}\log \frac{1+\sqrt{\varphi }}{1-\sqrt{\varphi }}}$
$={\displaystyle 4{\tan }^{-1}\frac{1}{\sqrt{\varphi }}\mathrm{Re}\frac{1}{i}\log \frac{(1+\sqrt{\varphi }{)}^2}{1-\varphi }}$
$={\displaystyle 4{\tan }^{-1}\frac{1}{\sqrt{\varphi }}\mathrm{Re}\frac{1}{i}\log -\varphi }$
$={\displaystyle 4\pi {\tan }^{-1}\frac{1}{\sqrt{\varphi }}}$

解説は以上になります。
今回は$\log$の中身がわかりやすい形なので方針はすぐ立ちました。
${\tan }^{-1}$の計算は重かったですが、手応えのある命題で面白かったです。またこれの一般化も積分botさんが投稿しているので挑戦してみたいと思います。