積分解説4

今回はこちらの積分botさんの積分を解説します。

https://twitter.com/integralsbot/status/1471498567898779649?s=21

$\displaystyle I=\int_{-1}^1\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\log\frac{1+2x+2x^2}{1-2x+2x^2}\frac{dx}{x}$
$=\displaystyle\int_0^1\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\log\frac{1+2x+2x^2}{1-2x+2x^2}\frac{dx}{x}+\int_0^1\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\log\frac{1+2x+2x^2}{1-2x+2x^2}\frac{dx}{x}$
$=\displaystyle2\int_0^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\log\frac{(1+x)^2+x^2}{(1-x)^2+x^2}\frac{dx}{x}$
$=\displaystyle4\Re\int_0^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\log\frac{1+(1+i)x}{1+(-1+i)x}\frac{dx}{x}$
$\displaystyle I(\zeta):=\int_0^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\log\big(1+\zeta x\big)\frac{dx}{x}$
$\displaystyle\frac{\partial I(\zeta)}{\partial\zeta}=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{1+\zeta\sin x}$
$=\displaystyle\int_0^1\frac{1}{1+\zeta･\frac{2t}{1+t^2}}\frac{2dt}{1+t^2}$
$=\displaystyle2\int_0^1\frac{dt}{(t+\zeta)^2+(1-\zeta^2)}$
$=\displaystyle\frac{2\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}\tan^{-1}\frac{1-\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}$
ここで$\displaystyle\tan^{-1}$の中身を約分しなかったのは、$\displaystyle\zeta$が複素変数であるためです。
両辺$\zeta$について積分して
$\displaystyle I(\zeta)=-2\big(\tan^{-1}\frac{1-\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}\big)^2+C$
(積分定数は求まりますが、後で打ち消されるので気にしません。)
また、ここから$\displaystyle\sqrt{1\pm2i}=\sqrt{\phi}\pm\frac{1}{\sqrt{\phi}}i$を用います。これは倍角公式などから直ちに導けます。
$\displaystyle I=4\Re\big(I(1+i)-I(-1+i)\big)$
$=\displaystyle8\Re\Big(\big(\tan^{-1}\frac{2-i}{\sqrt{1+2i}}\big)^2-\big(\tan^{-1} \frac{-i}{\sqrt{1-2i}}\big)^2\Big)$
$=\displaystyle8\Re\Big(\tan^{-1}\frac{-i\big(\sqrt{\phi}+\frac{1}{\sqrt{\phi}}i\big)^2}{\sqrt{\phi}+\frac{1}{\sqrt{\phi}}i} +\tan^{-1} \frac{-i}{\sqrt{\phi}-\frac{1}{\sqrt{\phi}}i}\Big)\Big(\tan^{-1}\frac{-i\big(\sqrt{\phi}+\frac{1}{\sqrt{\phi}}i\big)^2}{\sqrt{\phi}+\frac{1}{\sqrt{\phi}}i}-\tan^{-1}\frac{-i}{\sqrt{\phi}-\frac{1}{\sqrt{\phi}}i}\Big)$
$=\displaystyle8\Re\tan^{-1}\Big(\frac{\big(\frac{1}{\sqrt{\phi}}-\sqrt{\phi}i\big)+\big(\frac{i}{\sqrt{\phi}-\frac{1}{\sqrt{\phi}}i}\big)}{1-\big(\frac{1}{\sqrt{\phi}}-\sqrt{\phi}i\big)\big(\frac{i}{\sqrt{\phi}-\frac{1}{\sqrt{\phi}}i}\big)}\Big)･\tan^{-1}\Big(\frac{\big(\frac{1}{\sqrt{\phi}}-\sqrt{\phi}i\big)-\big(\frac{i}{\sqrt{\phi}-\frac{1}{\sqrt{\phi}}i}\big)}{1+\big(\frac{1}{\sqrt{\phi}}-\sqrt{\phi}i\big)\big(\frac{i}{\sqrt{\phi}-\frac{1}{\sqrt{\phi}}i}\big)}\Big)$
$=\displaystyle-8\Re\tan^{-1}\frac{1}{\sqrt{\phi}}\tan^{-1}\sqrt{\phi}i$
$=\displaystyle8\tan^{-1}\frac{1}{\sqrt{\phi}}\Re\frac{1}{2i}\log\frac{1+\sqrt{\phi}}{1-\sqrt{\phi}}$
$=\displaystyle4\tan^{-1}\frac{1}{\sqrt{\phi}}\Re\frac{1}{i}\log\frac{(1+\sqrt{\phi})^2}{1-\phi}$
$=\displaystyle4\tan^{-1}\frac{1}{\sqrt{\phi}}\Re\frac{1}{i}\log-\phi$
$=\displaystyle4\pi\tan^{-1}\frac{1}{\sqrt{\phi}}$

解説は以上になります。
今回は$\log$の中身がわかりやすい形なので方針はすぐ立ちました。
$\tan^{-1}$の計算は重かったですが、手応えのある命題で面白かったです。またこれの一般化も積分botさんが投稿しているので挑戦してみたいと思います。