Noether環の極小素idealは有限個である。

各ideal$I\subseteq A$に対して$I$を含む素idealの中で極小なもの全体の集合を$m(I)$で表すことにする。$\Gamma =\{$ideal$I\subseteq A$で$m(I)$は無限集合である$\}$とする。$\Gamma =\varnothing$であることを示したら良い。$\Gamma \ne \varnothing$だと仮定して矛盾を導く。$A$はNoether環であるから$\Gamma$は包含関係に関して極大元を持つ。それを$I$とする。$I$は素idealではない。($I$が素idealだとすると$m(I)=\{I\}$となり、これは$I\notin \Gamma$を意味する。)よって、$a,b\in A\setminus I$で$ab\in I$を満たすものが存在する。このとき$m(I)\subseteq m(I+(a))\cup m(I+(b))$が成立する。実際、$P\in m(I)$を任意の元とすると、$ab\in I\subseteq P$で$P$は素idealゆえ$a,b\in P$の少なくとも一方が成立する。$a\in P$だとしても一般性は失われない。すると、$I+(a)\subseteq P$である。さらに$P$は$I+(a)$を含む素idealの中で極小でもある。($I+(a)$を含む素idealは必然的に$I$を含むからである。)よって$P\in m(I+(a))$となる。よって$m(I)\subseteq m(I+(a))\cup m(I+(b))$が成立することがわかった。$m(I)$は無限集合であるから$m(I+(a)),m(I+(b))$の少なくとも一方は無限集合となるがこれは$I$の極大性に矛盾する。よって$\Gamma =\varnothing$である。