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Noether環の極小素idealは有限個である。

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証明が忘れがちなので備忘録として。環は単位元を含む可換環とします。

ネーター環の極小素ideal

$A$をNoether環,$I$$A$のidealとする。このとき$I$を含む$A$の素idealの中で包含関係について極小なものは有限個しか存在しない。特に、$A$の極小素idealは有限個しか存在しない。($I=0$とせよ)

各ideal$I\subseteq A$に対して$I$を含む素idealの中で極小なもの全体の集合を$m(I)$で表すことにする。$\varGamma=\{$ideal$I\subseteq A$$m(I)$は無限集合である$\}$とする。$\varGamma=\varnothing$であることを示したら良い。$\varGamma\neq\varnothing$だと仮定して矛盾を導く。$A$はNoether環であるから$\varGamma$は包含関係に関して極大元を持つ。それを$I$とする。$I$は素idealではない。($I$が素idealだとすると$m(I)=\{I\}$となり、これは$I\notin\varGamma$を意味する。)よって、$a,b\in A\setminus I$$ab\in I$を満たすものが存在する。このとき$m(I)\subseteq m(I+(a))\cup m(I+(b))$が成立する。実際、$P\in m(I)$を任意の元とすると、$ab\in I\subseteq P$$P$は素idealゆえ$a,b\in P$の少なくとも一方が成立する。$a\in P$だとしても一般性は失われない。すると、$I+(a)\subseteq P$である。さらに$P$$I+(a)$を含む素idealの中で極小でもある。($I+(a)$を含む素idealは必然的に$I$を含むからである。)よって$P\in m(I+(a))$となる。よって$m(I)\subseteq m(I+(a))\cup m(I+(b))$が成立することがわかった。$m(I)$は無限集合であるから$m(I+(a)),m(I+(b))$の少なくとも一方は無限集合となるがこれは$I$の極大性に矛盾する。よって$\varGamma=\varnothing$である。

1年ほど前にこの命題を示した気がしたのですが、もう少し易しいやり方だったと思います。別の証明を知っている方がいたらコメント欄へお願いします。

投稿日:202216

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B2 現在代数学(特に環論)を勉強中。 将来は群論やりたいとか思ってます。 気が向いた時に更新していく感じでいきます。

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