いろいろな方法でトリボナッチ数の一般項を表現する

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トリボナッチ数列( $T_{n}$ ) は、次の漸化式で定義される数列です。
名前からもわかるとおり、フィボナッチ数列の類似物で、漸化式を「先行する2項の和」から「先行する3項の和」に変えたものです。

トリボナッチ数列の漸化式

$\begin{array}{r} {\begin{cases} T_{0} = 0, \\ T_{1} = 0, \\ T_{2} = 1, \\ T_{n + 3} = T_{n} + T_{n + 1} + T_{n + 2} (n \geq 0) . \end{cases} \end{array}$

初項を $T_{0}$ として初めの方を書き下すとこんなかんじになります。

トリボナッチ数列

$0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, \dots$

いろいろな方法でトリボナッチ数の一般項を表現する

トリボナッチ数の一般項を表す式として知られているものや、私が個人的に見つけた式をいろいろ紹介したいと思います。

ビネの公式に類似した表現

フィボナッチ数列でいうところの「ビネの公式(参考: https://mathlog.info/articles/184 )」に相当するものとして、次のような表現が知られています。

トリボナッチ数の一般項(ビネの公式に類似した表現)

　　　　 $T_{n} = \frac{α^{n}}{(α - β) (α - γ)} + \frac{β^{n}}{(β - γ) (β - α)} + \frac{γ^{n}}{(γ - α) (γ - β)}$

ただし、 $α, β, γ$ は三次方程式 $x^{3} - x^{2} - x - 1 = 0$ の3解
　　　　 $\begin{aligned} α & = \frac{1}{3} (1 + \sqrt[3]{19 - 3 \sqrt{33}} + \sqrt[3]{19 + 3 \sqrt{33}}) \\ β & = \frac{1}{3} (1 + ω \sqrt[3]{19 - 3 \sqrt{33}} + ω^{2} \sqrt[3]{19 + 3 \sqrt{33}}) \\ γ & = \frac{1}{3} (1 + ω^{2} \sqrt[3]{19 - 3 \sqrt{33}} + ω \sqrt[3]{19 + 3 \sqrt{33}}) \end{aligned}$
で、
　　　　 $ω = \frac{- 1 + \sqrt{3} i}{2}$
です。

四捨五入を使った表現

フィボナッチ数のときに紹介したもの(参考: https://mathlog.info/articles/184 )と同じように、四捨五入する関数 $⌊ x ⌉$ を使って表現することもできます。

トリボナッチ数の一般項(四捨五入を使った表現)

　　 $T_{n} = ⌊ \frac{T^{n}}{U} ⌉$

ただし、 $T, U$ は次の定数です。

　　　　 $\begin{aligned} T & = \frac{1}{3} (1 + \sqrt[3]{19 - 3 \sqrt{33}} + \sqrt[3]{19 + 3 \sqrt{33}}) \\ = 1.839286755214161 \dots \end{aligned}$

　　　　 $\begin{aligned} U & = 3 T^{2} - 2 T - 1 \\ = 5.4703537932903902 \dots \end{aligned}$

その他の表現

こんな表現も見つけました。

トリボナッチ数の一般項(二項係数を使った表現)

　　　　 $T_{n} = \sum_{k = 0}^{⌊ \frac{n - 2}{4} ⌋} ((- 1)^{k} (\binom{n - 2 - 3 k}{k}) 2^{n - 2 - 4 k}) - \sum_{k = 0}^{⌊ \frac{n - 3}{4} ⌋} ((- 1)^{k} (\binom{n - 3 - 3 k}{k}) 2^{n - 3 - 4 k})$

投稿日：2020年11月8日

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