いろいろな方法でトリボナッチ数の一般項を表現する
トリボナッチ数列($T_n$) は、次の漸化式で定義される数列です。
名前からもわかるとおり、フィボナッチ数列の類似物で、漸化式を「先行する2項の和」から「先行する3項の和」に変えたものです。
$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} T_0 = 0,\\ T_1 = 0,\\ T_2 = 1,\\ T_{n+3} = T_n + T_{n+1} + T_{n+2} (n \ge 0). \end{array} \right. \end{eqnarray}$$
初項を$T_0$として初めの方を書き下すとこんなかんじになります。
$0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768,\cdots$
いろいろな方法でトリボナッチ数の一般項を表現する
トリボナッチ数の一般項を表す式として知られているものや、私が個人的に見つけた式をいろいろ紹介したいと思います。
ビネの公式に類似した表現
フィボナッチ数列でいうところの「ビネの公式(参考: https://mathlog.info/articles/184 )」に相当するものとして、次のような表現が知られています。
${\displaystyle T_{n}={\frac {\alpha ^{n}}{(\alpha -\beta )(\alpha -\gamma )}}+{\frac {\beta ^{n}}{(\beta -\gamma )(\beta -\alpha )}}+{\frac {\gamma ^{n}}{(\gamma -\alpha )(\gamma -\beta )}}}$
ただし、$α, β, γ$ は三次方程式 $x^3 − x^2 − x − 1 = 0$ の3解
${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &={\frac {1}{3}}\left(1+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}\right)\\\beta &={\frac {1}{3}}\left(1+\omega {\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}+{{\omega^2 }}{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}\right)\\\gamma &={\frac {1}{3}}\left(1+{ {\omega^2 }}{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}+\omega {\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}\right)\end{aligned}}}$
で、
${\displaystyle \omega ={\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}}$
です。
四捨五入を使った表現
フィボナッチ数のときに紹介したもの(参考: https://mathlog.info/articles/184 )と同じように、四捨五入する関数 $\left\lfloor x\right\rceil$ を使って表現することもできます。
${\displaystyle T_n=\left\lfloor \frac{T^n}{U} \right\rceil}$
ただし、$T,U$は次の定数です。
${\displaystyle \begin{align} T&=\frac {1}{3}\left(1+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}\right)\\ &=1.839286755214161\cdots \end{align} }$
${\displaystyle \begin{align} U&=3T^2-2T-1\\ &=5.4703537932903902\cdots \end{align}}$
その他の表現
こんな表現も見つけました。
${\displaystyle T_n=\sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n-2}{4}\right\rfloor} \left( (-1)^k{n-2-3k \choose k}2^{n-2-4k} \right) -\sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n-3}{4}\right\rfloor} \left( (-1)^k{n-3-3k \choose k}2^{n-3-4k} \right) }$
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