6

ガウス積分の極座標変換を使わない計算

104
0
$$\newcommand{abs}[1]{\left |#1\right |} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{Fourier}[2]{\mathcal{F}_{#1}\left [#2\right ]} \newcommand{Hartley}[2]{\mathcal{H}_{#1}\left [#2\right ]} \newcommand{Hilbert}[2]{\mathcal{Hil}_{#1}\left [#2\right ]} \newcommand{inttrans}[3]{\mathcal{#1}_{#2}\left [#3\right ]} \newcommand{invtrans}[3]{\mathcal{#1}^{-1}_{#2}\left [#3\right ]} \newcommand{Laplace}[2]{\mathcal{L}_{#1}\left [#2\right ]} \newcommand{Li}[0]{\operatorname{Li}} \newcommand{Mellin}[2]{\mathcal{M}_{#1}\left [#2\right ]} \newcommand{ord}[0]{\operatorname{ord}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{Res}[1]{\underset{#1}{\operatorname{Res}}} \newcommand{tLaplace}[2]{\mathcal{B}_{#1}\left [#2\right ]} \newcommand{Weierstrass}[2]{\mathcal{W}_{#1}\left [#2\right ]} $$

$$ \begin {aligned} \int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx&=\frac {\sqrt \pi }2 \end {aligned} $$

$$ \begin {aligned} I&:=\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx \end {aligned} $$
とおく。ここで
$$ \int _{0}^{\infty }\frac {dx}{1+x^{2}} =\left [\arctan x\right ]_0^\infty =\frac {\pi }2 $$
より
$$ \begin {aligned} \frac {\pi }2&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-(1+x^{2})t}dtdx\\ &=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\int _{0}^{\infty }e^{-tx^{2}}dxdt\\ &=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\frac {I}{\sqrt t}dt\\ &=2I\int _{0}^{\infty }e^{-u^2}du\quad \left (u=\sqrt t\right )\\ &=2I^2 \end {aligned} $$

$I$は正なので
$$ I=\frac{\sqrt {\pi}}2.$$

投稿日:202216

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

投稿者

便利
便利
241
35930
引き算が苦手です

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中