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大学数学基礎解説
ガウス積分の極座標変換を使わない計算
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$$\newcommand{abs}[1]{\left |#1\right |}
\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}}
\newcommand{Fourier}[2]{\mathcal{F}_{#1}\left [#2\right ]}
\newcommand{Hartley}[2]{\mathcal{H}_{#1}\left [#2\right ]}
\newcommand{Hilbert}[2]{\mathcal{Hil}_{#1}\left [#2\right ]}
\newcommand{inttrans}[3]{\mathcal{#1}_{#2}\left [#3\right ]}
\newcommand{invtrans}[3]{\mathcal{#1}^{-1}_{#2}\left [#3\right ]}
\newcommand{Laplace}[2]{\mathcal{L}_{#1}\left [#2\right ]}
\newcommand{Li}[0]{\operatorname{Li}}
\newcommand{Mellin}[2]{\mathcal{M}_{#1}\left [#2\right ]}
\newcommand{ord}[0]{\operatorname{ord}}
\newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}}
\newcommand{Res}[1]{\underset{#1}{\operatorname{Res}}}
\newcommand{tLaplace}[2]{\mathcal{B}_{#1}\left [#2\right ]}
\newcommand{Weierstrass}[2]{\mathcal{W}_{#1}\left [#2\right ]}
$$
$$ \begin {aligned} \int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx&=\frac {\sqrt \pi }2 \end {aligned} $$
$$
\begin {aligned}
I&:=\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx
\end {aligned}
$$
とおく。ここで
$$
\int _{0}^{\infty }\frac {dx}{1+x^{2}}
=\left [\arctan x\right ]_0^\infty
=\frac {\pi }2
$$
より
$$
\begin {aligned}
\frac {\pi }2&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-(1+x^{2})t}dtdx\\
&=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\int _{0}^{\infty }e^{-tx^{2}}dxdt\\
&=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\frac {I}{\sqrt t}dt\\
&=2I\int _{0}^{\infty }e^{-u^2}du\quad \left (u=\sqrt t\right )\\
&=2I^2
\end {aligned}
$$
$I$は正なので
$$ I=\frac{\sqrt {\pi}}2.$$
投稿日：2022年1月6日
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