よく見かける二つの積分

&&&
$$
\begin {aligned}
\int _{0}^{1}\frac {x}{1+x^{2}}dx\quad \int _{0}^{1}\frac {1}{1+x^{2}}dx
\end {aligned}
$$
&&&
を同時に計算します。
まず普通に計算すると、
$$
\begin {aligned}

\int _{0}^{1}\frac {x}{1+x^{2}}dx&=\frac {1}2\int _{0}^{1}\frac {2x}{1+x^{2}}dx\\
&=\frac {1}2\int _{0}^{1}\frac {(1+x^2)'}{1+x^{2}}dx\\

&=\frac {1}2\left [\log (1+x^{2})\right ]_0^1\\

&=\frac {1}2\log 2\\
\\
\int _{0}^{1}\frac {1}{1+x^{2}}dx

&=\int _{0}^{\frac {\pi }4}d\theta \quad (x=\tan \theta )\\

&=\frac {\pi }4
\end {aligned}
$$

これを複素対数を使って同時に計算します。但し対数は主値をとります。

$$
\begin {aligned}

\int _{0}^{1}\frac {x+i}{1+x^{2}}dx&=\int _{0}^{1}\frac {1}{x-i}dx\\

&=\left [\log (x-i)\right ]_{0}^{1}\\

&=\log (1-i)-\log (-i)\\

&=\log \sqrt 2-\frac {\pi }4i-\left (-\frac {\pi }2i\right )\\

&=\frac {1}2\log 2+\frac {\pi }4i

\end {aligned}
$$

実部,虚部を見ることで求まります。


二つの積分を同時に計算する

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