Fractional Hankel Transform

SGCの『可解な量子力学系の数理物理』を読んで思いついた計算手法を考察する。計算を端的にまとめるが詳しい物理的な意味に関しては本を参照してほしい。

固有関数系は異なる固有値に対して直交するので次の直交性を満たす。

遠心力付き調和振動子ポテンシャル
$$U(x)=x^2+\frac{\beta (\beta -1)}{x^2}-1-2\beta ,\beta =\alpha +\frac{1}{2}$$のもとでハミルトニアン等を計算すると以下のようになる
$x_s=0<x<x_e=\mathrm{\infty }$
$${\varphi }_0(x)=e^{-\frac{1}{2}{x}^2}{x}^{\beta }$$
$\eta (x)=x^2$
Laguerre多項式$P_n(x)=L^{(\alpha )}(z)$
$$P_n(\eta (x))=\frac{(1+\alpha {)}_n}{n!}{}_1{F}_1\begin{array}{r}\left[\begin{array}{c}-n\\ 1+\alpha \end{array}|x^2\right]\end{array}$$
$$h_n=\frac{1}{2n!}\mathrm{\Gamma }(n+\alpha +1)$$
$E(n)=4n$

より単純なただの調和振動子の場合のハミルトニアン等については後で追記する。

そして僕が思いついたアイデアについて述べる(既出だったが)。
$e^{it\mathcal{H}}$によって系の時間発展を記述することができるが、この時間発展演算子をスペクトル分解することによって時間発展の核関数propagatorを導出できて、時間発展演算子という微分作用の積分表示を導出できる。

$$K(x,y;t)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{h_n}{\varphi }_n(x){\varphi }_n(y)e^{-iE(n)t}$$とすると、これは時間発展のpropagatorになっている。実際、
$$\begin{array}{rl}& {\int }_{x_s}^{x_e}{\varphi }_m(y)K(x,y;t)dy\\ =& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{h_n}{e}^{-iE(n)t}{\int }_{x_s}^{x_e}{\varphi }_n(x){\varphi }_n(y)\varphi (y)dy\\ =& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{h_n}{e}^{-iE(n)t}{\delta }_{nm}{\varphi }_m(x)\\ =& e^{-iE(m)t}{\varphi }_m(x)\\ =& e^{-it\mathcal{H}}\cdot {\varphi }_m(x)\end{array}$$

である。

遠心力付き調和振動子の場合で計算する。次のHardy-Hille公式を用いる。

$t\in (-\pi ,\pi )\mathrm{\setminus }\{0\}$
$$\begin{array}{rl}& K(x,y;t)\\ =& 2e^{-\frac{1}{2}(x^2+y^2)}(xy{)}^{\beta }\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{n!}{\mathrm{\Gamma }(n+\alpha +1)}{L}_n^{(\alpha )}(x^2)L_n^{(\alpha )}(y^2)e^{-4int}\\ =& 2e^{-\frac{1}{2}(x^2+y^2)}(xy{)}^{1/2}\frac{1}{1-e^{-4int}}\exp \left(\frac{(x^2+y^2)}{1-e^{4int}}\right)e^{2i\alpha t}{I}_{\alpha }(-i\frac{xy}{\sin 2t})\\ =& \frac{i^{-1-\alpha }}{\sin 2t}{e}^{-2i(\alpha +1)t}{e}^{\frac{i}{2}(x^2+y^2)\cot 2t}{J}_{\alpha }\left(\frac{xy}{\sin 2t}\right)\sqrt{xy}\end{array}$$
なので微分演算子の次の公式が得られる。$f\in \mathbf{F}$
$$\begin{array}{rl}& \exp \frac{i}{2}t[{\partial }^2+\frac{\beta (1-\beta )}{x^2}-x^2]\cdot f(x)\\ =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(y)\frac{i^{-1-\alpha }}{\sin t}{e}^{\frac{i}{2}(x^2+y^2)\cot t}{J}_{\alpha }\left(\frac{xy}{\sin t}\right)\sqrt{xy}dy\end{array}$$

関数の空間$G$を整関数で実軸への制限がSchwartz空間に属しているような関数全体とする。$g\in G$にたいして

$$\begin{array}{rl}& x^{-\beta }\exp \frac{i}{2}t[{\partial }^2+\frac{\beta (1-\beta )}{x^2}-x^2]\cdot x^{\beta }g(x^2)\\ =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}g(y^2)\frac{i^{-1-\alpha }}{\sin t}{e}^{\frac{i}{2}(x^2+y^2)\cot t}{J}_{\alpha }\left(\frac{xy}{\sin t}\right){\left(\frac{y}{x}\right)}^{\alpha }ydy\\ =& \exp \frac{i}{2}t{x}^{-\beta }[{\partial }^2+\frac{\beta (1-\beta )}{x^2}-x^2]x^{\beta }\cdot g(x^2)\\ =& \exp \frac{i}{2}t[{(\partial +\frac{\beta }{x})}^2+\frac{\beta (1-\beta )}{x^2}-x^2]\cdot g(x^2)\\ =& \exp \frac{i}{2}t[{\partial }^2+\frac{2\alpha +1}{x}\partial -x^2]\cdot g(x^2)\end{array}$$
と計算できる。Fourier変換のときと同様、$t=\pi /2$とすれば通常のHankel変換が得られる。
$$\begin{array}{rl}& \exp \frac{\pi i}{4}[{\partial }^2+\frac{2\alpha +1}{x}\partial -x^2]\cdot g(x^2)\\ =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}g(y^2)i^{-1-\alpha }{J}_{\alpha }\left(xy\right){\left(\frac{y}{x}\right)}^{\alpha }ydy\end{array}$$

つまり$\exp \frac{i}{2}t[{\partial }^2+\frac{2\alpha +1}{x}\partial -x^2]$は実数階Fourier変換(Fractional Fourier Transform)の一般化としてFractional Hankel Transformと捉えることができる。
$$\begin{array}{rl}& \exp \frac{\pi i}{2}[{\partial }^2+\frac{2\alpha +1}{x}\partial -x^2]\cdot g(x^2)\\ =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}g(z^2)i^{-2-2\alpha }{J}_{\alpha }\left(xy\right)J_{\alpha }\left(yz\right){\left(\frac{z}{y}\right)}^{\alpha }{\left(\frac{y}{x}\right)}^{\alpha }yzdydz\\ =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}g(z^2){\left(\frac{z}{x}\right)}^{\alpha }\delta (z-x)dz\\ =& i^{-2-2\alpha }g(x^2)\end{array}$$

となる。