積分解説07

2020/11/07に出題した問題です。
https://mathlog.info/articles/221

[解説]
$\begin{array}{rcl}& & {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\log \left(\frac{e^x}{e^x-1}\right)dx\\ & =& -{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\log (1-e^{-x})dx\\ & =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(e^{-x}{)}^n}{n}dx\\ & =& \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-nx}dx\\ & =& \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}{\left[\frac{1}{n}{e}^{-nx}\right]}_0^{\mathrm{\infty }}\\ & =& \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}\\ & =& \frac{{\pi }^2}{6}\end{array}$
よって、この問題の解答は${\displaystyle \frac{{\pi }^2}{6}}$となります。