積分解説07

2020/11/07に出題した問題です。
https://mathlog.info/articles/221

[解説]
$ \begin{eqnarray*} &&\int_0^\infty \log\left(\frac{e^x}{e^x-1}\right)dx\\ &=&-\int_0^\infty \log\left(1-e^{-x}\right)dx\\ &=&\int_0^\infty \sum_{n=1}^\infty \frac{(e^{-x})^n}ndx\\ &=&\sum_{n=1}^\infty \frac1n\int_0^\infty e^{-nx}dx\\ &=&\sum_{n=1}^\infty \frac1n\left[\frac1ne^{-nx} \right]_0^\infty\\ &=&\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}\\ &=&\frac{\pi^2}6 \end{eqnarray*} $
よって、この問題の解答は$\displaystyle \frac{\pi^2}6$となります。