Dirichletの約数問題

$d(n)$で$n$の約数の個数を表し、$D(x)=\displaystyle\sum_{n \leqq x} d(n)$とおく。これを、約数和関数とよぶ。
座標軸$a,b$をとり、双曲線$ab=x$を考える。$x$は変数ではなく定数とみなしていることを注意しておく。
$ab=x,a=1,b=1$によって囲まれる領域$\Omega$内の格子点を数えると$D(x)$に一致する。なぜなら、$d(n)$は$ab=n$となる正の整数のペア$(a,b)$の個数に等しい。
$n$を$1 \leqq n \leqq x$の範囲で動かすと、$D(x)$が求まる。

$\Omega$を以下の３つの領域に分ける。
$D_1=\{ (a,b) : 1 \leqq a \leqq \sqrt{x} かつ \sqrt{x} \leqq b \leqq \frac{x}{a} \}$
$D_2=\{ (b,a) : (a,b) \in D_1 \}$
$D_3=\{ (a,b) : 1 \leqq a,b \leqq \sqrt{x} \}$

最も簡単に求まるのは$D_3$内の格子点であって、$\left[\sqrt{x}\right]^2$で求まる。
ここで$\left[x\right]$はガウス記号で、$x$以下の最大の整数を表す。
$D_1,D_2$内の格子点の個数は互いに等しく、$\displaystyle\sum_{a=1}^{\left[ \sqrt{x} \right]} \left[ \frac{x}{a} \right] - \left[ \sqrt{x} \right]^2$と表すことができるので、この値を近似する式を与えよう。$\displaystyle{\left[ \frac{x}{a} \right]}$ をほぼ$\displaystyle\frac{x}{a}$と見積もることにして、$\displaystyle\sum_{a=1}^{\left[ \sqrt{x} \right]} \frac{1}{a}$ について考えよう。

Euler-Mascheroni定数を、$ \gamma =1- \displaystyle\int_1^{\infty} \frac{t-\left[t\right]}{t^2} dx$で定義する。
$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\left[ x \right]} \frac{1}{n} = \frac{\left[ x \right]}{x}+ \int_1^x \frac{\left[ t \right]}{t^2} dt}$を、Euler-Mascheroni定数を使い変形しよう。
$\displaystyle\frac{\left[ x \right]}{x} = 1+\displaystyle\frac{\left[ x \right]-x}{x}$と$\displaystyle{\int_1^x \frac{\left[ t \right]}{t^2} dt=\int_1^x \frac{\left[ t \right]-t}{t^2} dt + \log(x)}$により、$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\left[ x \right]} \frac{1}{n} = \frac{\left[ x \right]}{x}+ \int_1^x \frac{\left[ t \right]}{t^2} dt} = 1+\displaystyle{\frac{\left[ x \right]-x}{x} + \int_1^x \frac{\left[ t \right]-t}{t^2} dt + \log(x)}$ $= 1+\displaystyle{\frac{\left[ x \right]-x}{x} + \int_1^{\infty} \frac{\left[ t \right]-t}{t^2} dt - \int_x^{\infty} \frac{\left[ t \right]-t}{t^2} dt + \log(x)}$
$= \displaystyle{\log(x) + \frac{\left[ x \right]-x}{x} + \int_x^{\infty} \frac{t - \left[ t \right]}{t^2} dt + \gamma}$
そこで、
$\displaystyle{\sum_{a=1}^{\left[ \sqrt{x} \right]} \frac{1}{a}} = \displaystyle{\frac{1}{2}\log(x) + \frac{\left[ \sqrt{x} \right]-\sqrt{x}}{\sqrt{x}} + \int_{\sqrt{x}}^{\infty} \frac{t - \left[ t \right]}{t^2} dt + \gamma}$より、
$\displaystyle{\sum_{a=1}^{\left[ \sqrt{x} \right]} \frac{x}{a}} = \displaystyle{\frac{x}{2}\log(x) + (\left[ \sqrt{x} \right]-\sqrt{x})\sqrt{x} + x\int_{\sqrt{x}}^{\infty} \frac{t - \left[ t \right]}{t^2} dt + \gamma x}$となる。
$\displaystyle{\left |\int_{\sqrt{x}}^{\infty} \frac{t - \left[ t \right]}{t^2} dt \right | \leqq \int_{\sqrt{x}}^{\infty} \frac{1}{t^2} dt}=\frac{1}{\sqrt{x}}$より、Bachmann-Landauの$o$を用いると、$\displaystyle{\sum_{a=1}^{\left[ \sqrt{x} \right]} \frac{x}{a}} = \displaystyle{\frac{x}{2}\log(x)+\gamma x +o(\sqrt{x})}$と表せる。

$D(x)=2\displaystyle\sum_{a=1}^{\left[ \sqrt{x} \right]} \left[ \frac{x}{a} \right] - \left[ \sqrt{x} \right]^2 \approx 2\displaystyle\sum_{a=1}^{\left[\sqrt{x}\right]}\frac{x}{a}-\sqrt{x}^2$と近似すると、約数和関数について以下の近似が成り立つ。