Dirichletの約数問題

$d(n)$で$n$の約数の個数を表し、$D(x)={\displaystyle \sum _{n\leqq x}d(n)}$とおく。これを、約数和関数とよぶ。
座標軸$a,b$をとり、双曲線$ab=x$を考える。$x$は変数ではなく定数とみなしていることを注意しておく。
$ab=x,a=1,b=1$によって囲まれる領域$\mathrm{\Omega }$内の格子点を数えると$D(x)$に一致する。なぜなら、$d(n)$は$ab=n$となる正の整数のペア$(a,b)$の個数に等しい。
$n$を$1\leqq n\leqq x$の範囲で動かすと、$D(x)$が求まる。

$\mathrm{\Omega }$を以下の３つの領域に分ける。
$D_1=\{(a,b):1\leqq a\leqq \sqrt{x}かつ\sqrt{x}\leqq b\leqq \frac{x}{a}\}$
$D_2=\{(b,a):(a,b)\in D_1\}$
$D_3=\{(a,b):1\leqq a,b\leqq \sqrt{x}\}$

最も簡単に求まるのは$D_3$内の格子点であって、${\left[\sqrt{x}\right]}^2$で求まる。
ここで$\left[x\right]$はガウス記号で、$x$以下の最大の整数を表す。
$D_1,D_2$内の格子点の個数は互いに等しく、${\displaystyle \sum _{a=1}^{\left[\sqrt{x}\right]}\left[\frac{x}{a}\right]-{\left[\sqrt{x}\right]}^2}$と表すことができるので、この値を近似する式を与えよう。${\displaystyle \left[\frac{x}{a}\right]}$ をほぼ${\displaystyle \frac{x}{a}}$と見積もることにして、${\displaystyle \sum _{a=1}^{\left[\sqrt{x}\right]}\frac{1}{a}}$ について考えよう。

Euler-Mascheroni定数を、$\gamma =1-{\displaystyle {\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{t-\left[t\right]}{t^2}dx}$で定義する。
${\displaystyle \sum _{n=1}^{\left[x\right]}\frac{1}{n}=\frac{\left[x\right]}{x}+{\int }_1^x\frac{\left[t\right]}{t^2}dt}$を、Euler-Mascheroni定数を使い変形しよう。
${\displaystyle \frac{\left[x\right]}{x}=1+{\displaystyle \frac{\left[x\right]-x}{x}}}$と${\displaystyle {\int }_1^x\frac{\left[t\right]}{t^2}dt={\int }_1^x\frac{\left[t\right]-t}{t^2}dt+\log \left(x\right)}$により、${\displaystyle \sum _{n=1}^{\left[x\right]}\frac{1}{n}=\frac{\left[x\right]}{x}+{\int }_1^x\frac{\left[t\right]}{t^2}dt=1+{\displaystyle \frac{\left[x\right]-x}{x}+{\int }_1^x\frac{\left[t\right]-t}{t^2}dt+\log \left(x\right)}}$ $=1+{\displaystyle \frac{\left[x\right]-x}{x}+{\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{\left[t\right]-t}{t^2}dt-{\int }_x^{\mathrm{\infty }}\frac{\left[t\right]-t}{t^2}dt+\log \left(x\right)}$
$={\displaystyle \log \left(x\right)+\frac{\left[x\right]-x}{x}+{\int }_x^{\mathrm{\infty }}\frac{t-\left[t\right]}{t^2}dt+\gamma }$
そこで、
${\displaystyle \sum _{a=1}^{\left[\sqrt{x}\right]}\frac{1}{a}={\displaystyle \frac{1}{2}\log \left(x\right)+\frac{\left[\sqrt{x}\right]-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+{\int }_{\sqrt{x}}^{\mathrm{\infty }}\frac{t-\left[t\right]}{t^2}dt+\gamma }}$より、
${\displaystyle \sum _{a=1}^{\left[\sqrt{x}\right]}\frac{x}{a}={\displaystyle \frac{x}{2}\log \left(x\right)+(\left[\sqrt{x}\right]-\sqrt{x})\sqrt{x}+x{\int }_{\sqrt{x}}^{\mathrm{\infty }}\frac{t-\left[t\right]}{t^2}dt+\gamma x}}$となる。
${\displaystyle \left|{\int }_{\sqrt{x}}^{\mathrm{\infty }}\frac{t-\left[t\right]}{t^2}dt\right|\leqq {\int }_{\sqrt{x}}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{t^2}dt=\frac{1}{\sqrt{x}}}$より、Bachmann-Landauの$o$を用いると、${\displaystyle \sum _{a=1}^{\left[\sqrt{x}\right]}\frac{x}{a}={\displaystyle \frac{x}{2}\log \left(x\right)+\gamma x+o(\sqrt{x})}}$と表せる。

$D(x)=2{\displaystyle \sum _{a=1}^{\left[\sqrt{x}\right]}\left[\frac{x}{a}\right]-{\left[\sqrt{x}\right]}^2\approx 2{\displaystyle \sum _{a=1}^{\left[\sqrt{x}\right]}\frac{x}{a}-{\sqrt{x}}^2}}$と近似すると、約数和関数について以下の近似が成り立つ。