cos3°を求めよう！(式で)

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はじめに

黄金比と正三角形をいじってたら $\cos 3 °$ が求められたので、投稿しようと思いましたが、図形を投稿するのが難しいので方程式で求めてみることにしました。

定義

指数関数と三角関数

$e^{x} := 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}$
$\cos x := \frac{e^{i x} + e^{- i x}}{2}$
$\sin x := \frac{e^{i x} - e^{- i x}}{2 i}$

$° = \frac{π}{180}$

以降、 $\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1$ $\cos 180 ° = - 1$ 、加法定理、及びその系などは証明なしで使います。

補題

$\cos 36 ° = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

方程式を解く

5倍角の公式から
$x = \cos 36 °, \cos 108 °, \cos 180 °, \cos 252, \cos 324 °$ のとき
$16 x^{5} - 20 x^{3} + 5 x + 1 = 0$
$\cos 180 ° = - 1$ から
$16 x^{5} - 20 x^{3} + 5 x + 1$ が $x + 1$ で割り切れることがわかる。
つまり、
$16 x^{5} - 20 x^{3} + 5 x + 1 = (x + 1) (16 x^{4} - 16 x^{3} - 4 x^{3} + 4 x^{2} + 1)$ となる。
また、 $\cos 36 ° = \cos 324 °, \cos 108 ° = \cos 252$
から、方程式 $16 x^{4} - 16 x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 1 = 0$
は2組の重解があることがわかる。
これと解と係数との関係から、
$2 (\cos 36 ° + \cos 108 °) = 1$
$\cos^{2} 36 ° \cos^{2} 108 ° = \frac{1}{16}$
$c o s 36 ° > 0, \cos 108 ° < 0$ から
$\cos 36 ° + \cos 108 ° = \frac{1}{2}$
$\cos 36 ° \cos 108 ° = - \frac{1}{4}$
解と係数との関係から
$x = \cos 36 °, \cos 108 °$ のとき
$4 x^{2} - 2 x - 1 = 0$
解の公式から
$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$
$\cos 36 ° > 0$ から
$\cos 36 ° = \frac{1 + \sqrt{5}}{4} ◼$

本題

$\cos 3 ° = \frac{\sqrt{8 + \sqrt{3} (1 + \sqrt{5}) + \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}}{4}$

加法定理から
$\cos (36 ° - 30 °) = \cos 36 ° \cos 30 ° + \sin 36 ° \sin 30 ° = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 36 ° + \frac{1}{2} \sqrt{1 - \cos^{2} 36 °}$
補題1から
$= \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{1 + \sqrt{5}}{4} + \frac{1}{2} \sqrt{1 - {(\frac{1 + \sqrt{5}}{4})}^{2}}$
$= \frac{\sqrt{3} (1 + \sqrt{5})}{8} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{8}$
$= \frac{\sqrt{3} (1 + \sqrt{5}) + \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{8}$
つまり、 $\cos 6 ° = \frac{\sqrt{3} (1 + \sqrt{5}) + \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{8}$
半角の公式から
$\cos 3 ° = \frac{\sqrt{8 + \sqrt{3} (1 + \sqrt{5}) + \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}}{4} ◼$