初等的な不等式　:>

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はじめに

使う不等式は理解しやすく簡単なものだけですが,少し複雑だと感じる部分があると思います.「意味がわからない」ってなっても,落ち着いて見れば簡単に分かるかもしれません.
また,数学オリンピックの不等式で出題されるような不等式の知識がある人は,この節は飛ばしても問題ないと思われます.

Cauchy-Schwarzの不等式

任意の実数$a_i,b_i$と,任意の正整数$n$に対して,
$$\left(\sum_{i=1}^na_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^nb_i^2\right)\ge\left(\sum_{i=1}^na_ib_i\right)^2$$
が成立する.等号成立条件は「「すべての$i=1,2,\cdots,n$に対して,$a_ix=b_i$となる$x$」が存在する.」.

Cauchy–Bunyakovski–Schwarzの不等式だったり,単にSchwarzの不等式と呼ばれることもあります.
証明はこちらを参考にすると良いでしょう.

次に,この定理の特殊な場合についてみていきます.

Radonの不等式

任意の実数$x_i$と,任意の正数$y_i$と,任意の正整数$n$に対して,
$$\sum_{i=1}^n\frac{x_i^2}{y_i}\ge\frac{\displaystyle \left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2}{\displaystyle \sum_{i=1}^ny_i}$$
が成立する.等号成立条件は,「「すべての$i=1,2,\cdots,n$に対して,$x_ia=y_i$となる$a$」が存在する.」.

Tituの補題,Sedrakyanの不等式とも言います.

定理$1$に$a_i=\frac{x_i}{\sqrt{y_i}},b_i=\sqrt{y_i}$を代入した式を,$\displaystyle\sum_{i=1}^ny_i$で割れば,定理$2$を得る.

有名不等式$(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca)$の一般化も使うので紹介しておきます.

有名不等式の一般化

任意の$2$以上の整数$n$と,任意の正数$a_i$に対して,
$$\cfrac{\displaystyle \left(\sum_{i=1}^na_i\right)^2}{\displaystyle \sum_{1\le i< j\le n}a_ia_j}\ge\cfrac{2n}{n-1}$$
が成立する.等号成立条件は$a_1=a_2=\cdots=a_n$.

$$\sum_{1\le i< j\le n}\left(a_i-a_j\right)^2\ge0\\\Leftrightarrow\left(n-1\right)\sum_{i=1}^na_i^2\ge2\sum_{1\le i< j\le n}a_ia_j\\\Leftrightarrow(n-1)\left(\sum_{i=1}^na_i\right)^2\ge2n\sum_{1\le i< j\le n}a_ia_j\\\Leftrightarrow\cfrac{\displaystyle \left(\sum_{i=1}^na_i\right)^2}{\displaystyle \sum_{1\le i< j\le n}a_ia_j}\ge\cfrac{2n}{n-1}$$

今回示す不等式は,定理$2$と定理$3$を使います.

あまり見慣れないと思われる記号を使うので,以下で定義しておきます.

$$\sum_{cyc}f(x_1,x_2,\cdots,x_n):=f(x_1,x_2,\cdots,x_n)+f(x_2,x_3,\cdots,x_n,x_1)+\cdots+f(x_n,x_1,\cdots,x_{n-1})$$

$\displaystyle \sum_{cyc}f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$とは,上記のように$n$個の和を表すものとする.

目標の不等式

では,いきましょう.

任意の正数$a_i$と,任意の2以上の整数$n$と,$B=b_2+b_n=b_3+b_{n-1}=\cdots=b_{\lfloor\frac{n+2}2\rfloor}+b_{\lceil\frac{n+2}2\rceil}$をみたす$a_i(1\le i\le n)$によらない任意の正数$b_i$に対して,
$f(a_1,a_2,\cdots,a_n)=\cfrac{a_1}{\displaystyle\sum_{i=2}^na_ib_i}$としたとき,
$$\sum_{cyc}f(a_1,a_2,\cdots,a_n)\ge\cfrac{2n}{B(n-1)}$$
が成立する.等号成立条件は,$a_1=a_2=\cdots=a_n$.

定理$2$,定理$3$をそれぞれ$(2),(3)$と表す.
$\displaystyle\sum_{cyc}f(a_1,a_2,\cdots,a_n)\\=\displaystyle\sum_{cyc}\cfrac{a_1}{a_2b_2+a_3b_3+\cdots+a_nb_n} \\=\displaystyle\sum_{cyc}\cfrac{a_1^2}{b_2a_1a_2+b_3a_1a_3+\cdots+b_na_1a_n} \\=\displaystyle\cfrac{a_1^2}{b_2a_1a_2+b_3a_1a_3+\cdots+b_na_1a_n}+\cfrac{a_2^2}{b_2a_2a_3+b_3a_2a_4+\cdots+b_na_2a_1}+\cdots+\cfrac{a_n^2}{b_2a_na_1+b_3a_na_2+\cdots+b_na_na_{n-1}}\\\ge\displaystyle\cfrac{\displaystyle\left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)^2}{b_2a_1a_2+b_3a_1a_3+\cdots+b_na_1a_n+b_2a_2a_3+b_3a_2a_4+\cdots+b_na_2a_1+\cdots+b_2a_na_1+b_3a_na_2+\cdots+b_na_na_{n-1}}\qquad(\because(2))\\=\displaystyle\cfrac{\displaystyle\left(\sum_{i=1}^na_i\right)^2}{\displaystyle B\left(\sum_{1\le i< j\le n}a_ia_j\right)}\\\ge\displaystyle\cfrac{2n}{B\left(n-1\right)}\qquad(\because(3) )$

この不等式が使える問題をいくらか紹介しておきます.

IMO Shortlist 1993 A-3

$a,b,c,d>0$のとき,以下の不等式を示せ.
$$\cfrac a{b+2c+3d}+\cfrac b{c+2d+3a}+\cfrac c{d+2a+3b}+\cfrac d{a+2b+3c}\ge\cfrac23$$

出典はこちら .

$\textbf{解答}$
定理$4$において,$n=4,b_2=1,b_3=2,b_4=3$とすればよく,$B=4$であるから,$\cfrac{2n}{B(n-1)}=\cfrac23$となり示された.

Nesbittの不等式の一般化

$n\ge2$とする.$a_1,a_2,\cdots,a_n>0$のとき,以下の不等式を示せ.
$$\cfrac{a_1}{a_2+a_3+\cdots+a_n}+\cfrac{a_2}{a_1+a_3+\cdots+a_n}+\cdots+\cfrac{a_n}{a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}}\ge\cfrac{n}{n-1}$$

こちらは,ゾンブラさんの記事『Nesbittの不等式とその一般化』の定理$2$の不等式です.記事はこちら .

$\textbf{解答}$
定理$4$において,$b_2=b_3=\cdots=b_n=1$とすればよく,$B=2$であるから,$\cfrac{2n}{B(n-1)}=\cfrac n{n-1}$となり示された.

自作問題

$n\ge2$とする.$a_1,a_2,\cdots,a_n>0$のとき,以下の不等式を示せ.
$$\cfrac{a_1}{a_2+2a_3+\cdots+(n-1)a_n}+\cfrac{a_2}{a_3+2a_4+\cdots+(n-1)a_1}+\cdots+\cfrac{a_n}{a_1+2a_2+\cdots+(n-1)a_{n-1}}\ge\cfrac2{n-1}$$

一応自作の問題です.$n=4$のとき,問題$1$と同じものになります.つまり,問題$1$の一般化ということになります.
$n=3$のときもどこかの数オリでみたことがありますがどこかは忘れました.

$\textbf{解答}$
定理$4$において,$b_i=i-1$ $(2\le i\le n)$とすればよく,$B=n$であるから,$\cfrac{2n}{B(n-1)}=\cfrac2{n-1}$となり示された.