積分解説08

2020/10/01に出題した問題です。
https://twitter.com/sounansya_29/status/1311653084666290177?s=21

[解説]
$ \begin{eqnarray*} &&\int_0^\infty \frac1{\sqrt{x}(x+1)}dx\\ &=&2\int_0^\frac\pi2 \frac{\tan\theta}{\sqrt{\tan^2\theta}(1+\tan^2\theta)\cos^2\theta}d\theta~~~~~~\left(x=\tan^2\theta\right)\\ &=&2\int_0^\frac\pi2d\theta\\ &=&2[\theta]_0^\frac\pi2\\ &=&\pi \end{eqnarray*} $
よって、この問題の解答は$\displaystyle \pi$となります。