積分解説08

2020/10/01に出題した問題です。
https://twitter.com/sounansya_29/status/1311653084666290177?s=21

[解説]
$\begin{array}{rcl}& & {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{x}(x+1)}dx\\ & =& 2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\tan \theta }{\sqrt{{\tan }^2\theta }(1+{\tan }^2\theta ){\cos }^2\theta }d\theta (x={\tan }^2\theta )\\ & =& 2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}d\theta \\ & =& 2[\theta {]}_0^{\frac{\pi }{2}}\\ & =& \pi \end{array}$
よって、この問題の解答は${\displaystyle \pi }$となります。