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高校数孊解説

𝐖𝐙 𝐊𝐞𝐭𝐡𝐚𝐝 𝐢𝐧 𝐟𝐚𝐮𝐫-𝐯𝐚𝐫𝐢𝐚𝐛𝐥𝐞 𝐢𝐧𝐝𝐞𝐱

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$$\newcommand{BA}[0]{\begin{align*}} \newcommand{BE}[0]{\begin{equation}} \newcommand{bl}[0]{\boldsymbol} \newcommand{D}[0]{\displaystyle} \newcommand{EA}[0]{\end{align*}} \newcommand{EE}[0]{\end{equation}} \newcommand{h}[0]{\boldsymbol{h}} \newcommand{k}[0]{\boldsymbol{k}} \newcommand{L}[0]{\left} \newcommand{l}[0]{\boldsymbol{l}} \newcommand{m}[0]{\boldsymbol{m}} \newcommand{n}[0]{\boldsymbol{n}} \newcommand{R}[0]{\right} $$

$\Large 𝙞𝚗𝚝𝚛𝚘𝚍𝚞𝚌𝚝𝚒𝚘𝚗$

　 この蚘事 で述べたように$\textrm{WZ-pair}$は

\begin{align*} F(i,j)+G(i+1,j)=G(i,j)+F(i,j+1) \end{align*}

を満たす$F,G$の組でした。それは芖芚的に衚すず平面䞊の栌子グラフにおいお

\begin{align*} &F(i,j):{\rm weight~on~}(i,j)\to(i+1,j)\\ &G(i,j):{\rm weght~on~}(i,j)\to(i,j+1) \end{align*}

ずしたずきに始点$(a,b)$から終点$(a',b')$たでに通る栌子の重みの和がどのような経路をたどっおも䞀臎するずいうこずでした。

${\rm path~invariance~in~multivariable}$

　䞀般に$n$個のパラメヌタによっお${\rm WZ~}{n\textrm{-tuple}}$を

${\bf Definition.}\quad (x_1,\cdots,x_i,\cdots,x_n)$から$(x_1,\cdots,x_i+1,\cdots,x_n)$ぞの重みを$F_i(x_1,\cdots,x_n)$ずし$j\neq k$に察しお$F_j(x_1,\cdots,x_n)$ず$F_k(x_1,\cdots,x_n)$が$\textrm{WZ-pair}$であるずき

$\BA\D\\ \big(F_1(x_1,\cdots,x_n),\cdots,F_n(x_1,\cdots,x_n)\big) \EA$

を${\rm WZ~}{n\textrm{-tuple}}$ず呌ぶ。

ず定矩したす。これにより${\mathbb R}^n$䞊で$\rm path~invariant~grid~graph$が圢成されたす。

${\rm WZ~}n\textrm{-tuple}$の構成

　ほずんどの${\rm WZ~}n\textrm{-tuple}$は次の四぀の兞型的な超幟䜕玚数の公匏ず関連しおいるず蚀われおいたす。
$\qquad\textcolor{red}✔$$\rm the~binomial~theorem$
$\qquad\textcolor{red}✔$$\rm Gauss{'}s~theorem$
$\qquad\textcolor{red}✔$${\rm the~}\textrm{Pfaff-}{\rm Saalsch\ddot{u}tz~theorem}$
$\qquad\textcolor{red}✔$${\rm Dougall{'}s~}\textrm{very-well-poised}~{_7F_6}~{\rm summation~theorem}$

${\rm WZ~}\textrm{4-tuple}$の構成

$\quad{\rm WZ~}\textrm{4-tuple}$は$\rm Gauss{'}s~theorem$ず関係しおいたす。$\rm Gauss{'}s~theorem$ずは

$\BA\D\\ \sum_{n=0}^\infty \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_nn!}=\frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)} \EA$

です。これを曞き換えるず

$\BA\D\\ \sum_{n=0}^\infty \frac{\Gamma(a+n)\Gamma(b+n)\Gamma(a+c)\Gamma(b+c)}{\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma(c)\Gamma(n+1)\Gamma(a+b+c+n)}=1 \EA$

ずいうかたちになりたす。これをもずに考えるず

$\BA\D\\ H(x_1,x_2,x_3,x_4)=\frac{\Gamma(a_1+a_3+x_1+x_3)\Gamma(a_1+a_4+x_1+x_4)\Gamma(a_2+a_3+x_2+x_3)\Gamma(a_2+a_4+x_2+x_4)}{\Gamma(a_1+x_1)\Gamma(a_2+x_2)\Gamma(a_3+x_3)\Gamma(a_4+x_4)\Gamma(a_1+a_2+a_3+a_4+x_1+x_2+x_3+x_4)} \EA$

ずし先ほどの定矩においお

$\BA\D\\ &F_i(x_1,x_2,x_3,x_4)=\frac{H(x_1,x_2,x_3,x_4)}{a_i+x_i}\qquad\quad (i=1,2)\\ &F_i(x_1,x_2,x_3,x_4)=-\frac{H(x_1,x_2,x_3,x_4)}{a_i+x_i}\qquad~ (i=3,4) \EA$

ずいう衚瀺が成り立぀こずがわかりたした。
具䜓的に曞くず

$\BA\D\\ F_1(x_1,x_2,x_3,x_4)-F_1(x_1,x_2+1,x_3,x_4)&=F_2(x_1,x_2,x_3,x_4)-F_2(x_1+1,x_2,x_3,x_4)\\ F_1(x_1,x_2,x_3,x_4)-F_1(x_1,x_2,x_3+1,x_4)&=F_3(x_1,x_2,x_3,x_4)-F_3(x_1+1,x_2,x_3,x_4)\\ F_1(x_1,x_2,x_3,x_4)-F_1(x_1,x_2,x_3,x_4+1)&=F_4(x_1,x_2,x_3,x_4)-F_4(x_1+1,x_2,x_3,x_4)\\ F_2(x_1,x_2,x_3,x_4)-F_2(x_1,x_2,x_3+1,x_4)&=F_3(x_1,x_2,x_3,x_4)-F_3(x_1,x_2+1,x_3,x_4)\\ F_2(x_1,x_2,x_3,x_4)-F_2(x_1,x_2,x_3,x_4+1)&=F_4(x_1,x_2,x_3,x_4)-F_4(x_1,x_2+1,x_3,x_4)\\ F_3(x_1,x_2,x_3,x_4)-F_3(x_1,x_2,x_3,x_4+1)&=F_4(x_1,x_2,x_3,x_4)-F_4(x_1,x_2,x_3+1,x_4) \EA$

が成り立ちたす。
　たた䞀぀の$\textrm{WZ-pair}$をもずづいお新たな$\textrm{WZ-pair}$を生成するための単玔な操䜜が぀挙げられたす。

$\rm \textcolor{red}{Shifting}:$すべおのパラメヌタは発散しない限り任意の耇玠数に察しお平行移動可胜である。

$\BA\D\\ \big(F_1(x_1,\cdots,x_n),\cdots,F_n(x_1,\cdots,x_n)\big)\to \big(F_1(x_1+z_1,\cdots,x_n+z_n),\cdots,F_n(x_1+z_1,\cdots,x_n+z_n)\big) \EA$

$\rm \textcolor{red}{Shadowing}:$呚期が$1$の関数を掛けたものも${\rm WZ~}{n\textrm{-tuple}}$ずなる。

$\BA\D\\ H(x_1,\cdots,x_n)\to \cos(\pi x_i)\Gamma(a_i+x_i)\Gamma(1-a_i-x_i)H(x_1,\cdots,x_n) \EA$

$\rm \textcolor{red}{Symmetrization}:$$(F(x,y),G(x,y))$が$\textrm{WZ-pair}$であり
$\BA\D\\ F(x,y)-F(x,y+1)=G(x,y)-G(x+1,y) \EA$

$\qquad$が成り立぀ずき$(G(-y,-x-1),F(-y-1,-x))$も$\textrm{WZ-pair}$ずなる。
$\BA\D\\ (F(x,y),G(x,y))\to(G(-y,-x-1),F(-y-1,-x)) \EA$

$\quad\rm Symmetrization$の内容は有名事実ですが特定の呌称があるかどうかわからなかっのでここではこう呌ぶこずにしたす。たた$(F,G)\neq (G,F)$であるこずに泚意しおください。
　この぀の法則を甚いるこずで぀の${\rm WZ~}{n\textrm{-tuple}}$をもずに別の${\rm WZ~}{n\textrm{-tuple}}$を生成するこずができたす。

$\rm WZ~method~in~{\mathbb R}^4$

$\quad\mathbb R^4$䞊の$\rm WZ~method$を考え無限玚数の恒等匏を埗るこずを目指したす。

$\BA\D\\ H(i,j,k,l)=(-1)^k\frac{\Gamma(1-k)\Gamma(1+a+i+k)\Gamma(1-a+i+l)\Gamma(1+j+k)\Gamma(1-2a+j+l)}{\Gamma(1+a+i)\Gamma(1+j)\Gamma(-2a+l)\Gamma(2-a+i+j+k+l)} \EA$

ずし${\rm WZ~}{4\textrm{-tuple}}$を

$\BA\D\\ (F_1(i,j,k,l),F_2(i,j,k,l),F_3(i,j,k,l),F_4(i,j,k,l)) =\L(\frac{H(i,j,k,l)}{1+a+i},\frac{H(i,j,k,l)}{1+j},-\frac{H(i,j,k,l)}{k},-\frac{H(i,j,k,l)}{-2a+l}\R) \EA$

ずしたす。たた䜍眮$L$から$L'$たでの重みを$W[L\to L']$ず曞くこずにしたす。
䜍眮$(0,0,0,0)$から$(1,0,0,0)$ず぀進む経路の重みの和は

$\BA\D\\ &\sum_{n=0}^\infty W[(n,0,0,0)\to(n+1,0,0,0)]\\ =&\sum_{n=0}^\infty F_1(n,0,0,0)\\ =&\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{1+a+n}\frac{\Gamma(1-a+n)\Gamma(1-2a)}{\Gamma(-2a)\Gamma(2-a+n)}\\ =&-2a\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2-a^2} \EA$

ずなりたす。
䜍眮$(0,0,0,0)$から$(1,2,-1,-1)$ず぀進む経路の重みの和は

$\BA\D\\ \sum_{n=0}^\infty W[(n,2n,-n,-n)\to(n+1,2n+2,-n-1,-n-1)] \EA$

ずなりたす。ここで$W[(n,2n,-n,-n)\to(n+1,2n+2,-n-1,-n-1)]$は$i\to j\to k\to l$の順に進むものずしお蚈算するず

$\BA\D\\ &F_1(n,2n,-n,-n)+F_2(n+1,2n,-n,-n)+F_2(n+1,2n+1,-n,-n)\\ -&F_3(n+1,2n+2,-n-1,-n)-F_4(n+1,2n+2,-n-1,-n-1) \EA$

に等しくなりたす。これを人力で蚈算するのは時間の無駄ですし蚈算量が膚倧で人の手でするものじゃないず思うんですよね。なんかそういう蚈算しおくれるサむトみたいなのあったらいいですよね。ほんずうに。よく知りたせんが。
それで蚈算した結果は

$\BA\D\\ -\frac{3a}{1-a^2}\sum_{n=0}^\infty \frac{(2)_n(1-2a,1+2a)_n}{2^{2n}\L(\frac{3}{2}\R)_n(2-a,2+a)_n} \EA$

ずなるらしいです。たしかに数倀は䞀臎したした。
さらに$W[(n,0,0,0)\to(n,2n,-n,-n)]$は$n\to\infty$で$0$に収束し

$\BA\D\\ -2a\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2-a^2}=-\frac{3a}{1-a^2}\sum_{n=0}^\infty \frac{(2)_n(1-2a,+2a)_n}{2^{2n}\L(\frac{3}{2}\R)_n(2-a,2+a)_n} \EA$

すなわち

$\BA\D\\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2-a^2} =\sum_{n=1}^\infty \frac{3}{\binom{2n}{n}(n^2-a^2)}\prod_{m=1}^{n-1}\frac{m^2-4a^2}{m^2-a^2} \EA$

ずいう匏が埗られたす。
より䞀般には$H(x_1,x_2,x_3,x_4)=\cdots$の匏においお$(a_1,a_2,a_3,a_4)=(1+a,1,0,-a-b)$ずするこずで

$\BA\D\\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n-a)(n-b)} =\sum_{n=1}^\infty \frac{3n-a-b}{n\binom{2n}{n}}\frac{(1-a+b,1+a-b)_{n-1}}{(1-a)_n(1-b)_n} \EA$

ずなりたす。
　ほかにも具䜓䟋を蚈算しおみたした。
$(0,0,0,0)$から$(1,1,-1,0)$ず぀進むこずで

$\BA\D\\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2-x^2} =\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}(2n-x)}{n(n^2-x^2)}\frac{(1-2x)_{n-1}}{(1+x)_{n-1}} \EA$

を埗たす。
$(0,0,0,0)$から$(1,2,-1,0)$ず぀進むこずで

$\BA\D\\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2-x^2} =\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}(10n^2-3(1+2x)n+x)}{n\binom{2n}{n}}\frac{(1-x)_{n-1}(1-2x)_{2n-2}}{(1+x)_n(1-x)_{2n}} \EA$

を埗たす。
$(0,0,0,0)$から$(2,2,-1,-1)$ず぀進むこずで

$\BA\D\\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2-x^2} =\sum_{n=1}^\infty \frac{21n^3-8n^2-x^2(9n-2)}{n\binom{2n}{n}}\frac{(1-x,1+x,1-2x,1+2x)_{n-1}}{(1-x,1+x)_{2n}} \EA$

を埗たす。

$\rm Koecher's~identity$

$\quad$次の等匏が成り立ちたす。

$\BA\D\\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n^2-x^2)}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^3\binom{2n}{n}}\L(1+\frac{4n^2}{n^2-x^2}\R)\prod_{m=1}^{n-1}\L(1-\frac{x^2}{m^2}\R) \EA$

これは

$\BA\D\\ F(n,k)&=\frac{(-1)^nk!(1-x,1+x)_n}{(2n+k+1)!((n+k+1)^2-x^2)}\\ G(n,k)&=\frac{(-1)^nk!(1-x,1+x)_n(5(n+1)^2-x^2+k^2+4k(n+1))}{(2n+k+2)!((n+k+1)^2-x^2)(2n+2)} \EA$

が

$\BA\D\\ F(n,k)-F(n+1,k)=G(n,k)-G(n,k+1) \EA$

を満たすこずから

$\BA\D\\ \sum_{n=0}^\infty F(0,n)=\sum_{n=0}^\infty G(n,0) \EA$

を考えるこずで埗るこずができたす。これを含めお䌌た等匏の蚌明が䟋えば ここ で芋るこずができたす。
$\quad$ではこの匏を${\rm WZ~}{n\textrm{-tuple}}$ずしお間接的に蚌明しおみたす。

$\BA\D\\ H(i,j,k,l)=\frac{(a_1+a_3)_{i+k}(a_1+a_4)_{i+l}(a_2+a_3)_{j+k}(a_2+a_4)_{j+l}}{(a_1)_i(a_2)_j(a_3)_k(a_4)_l(-1+a_1+a_2+a_3+a_4)_{i+j+k+l+1}} \EA$

においお$k=0$の堎合の

$\BA\D\\ H(i,j,0,l)=\frac{(a_1+a_3)_{i}(a_1+a_4)_{i+l}(a_2+a_3)_{j}(a_2+a_4)_{j+l}}{(a_1)_i(a_2)_j(a_4)_l(-1+a_1+a_2+a_3+a_4)_{i+j+l+1}} \EA$

に察しお$(a_1,a_2,a_3,a_4)=(1-x,1,0,x-y)$を代入し$l\to k$ず曞き

$\BA\D\\ &H(i,j,k)=\frac{(1-y)_{i+k}(1+x-y)_{j+k}}{(x-y)_k(1-y)_{i+j+k+1}}\\ &F_1(i,j,k)=\frac{H(i,j,k)}{1-x+i}\\ &F_2(i,j,k)=\frac{H(i,j,k)}{j+1}\\ &F_3(i,j,k)=-\frac{H(i,j,k)}{x-y+k} \EA$

ず改めたす。
$\quad (0,0,0)$を始点ずしお$(1,0,0)$ず぀進んだずきの重みの和は

$\BA\D\\ \sum_{n=0}^\infty F_1(n,0,0)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n-x)(n-y)} \EA$

ずなりたす。
$\quad(0,0,0)$を始点ずしお$(1,2,-1)$ず぀進んだずきの重みの和は

$\BA\D\\ &\sum_{n=0}^\infty (F_1(n,2n,-n)+F_2(n+1,2n,-n)+F_2(n+1,2n+1,-n)-F_3(n+1,2n+2,-n-1))\\ =&\sum_{n=0}^\infty \L(\frac{1}{1-x+n}\frac{(1+x-y)_{n}}{(x-y)_{-n}(1-y)_{2n+1}} +\frac{1}{2n+1}\frac{(1-y)(1+x-y)_{n}}{(x-y)_{-n}(1-y)_{2n+2}} +\frac{1}{2n+2}\frac{(1-y)(1+x-y)_{n+1}}{(x-y)_{-n}(1-y)_{2n+3}} +\frac{1}{x-y-n-1}\frac{(1+x-y)_{n+1}}{(x-y)_{-n-1}(1-y)_{2n+3}} \R)\\ =&\sum_{n=1}^\infty \L(\frac{2n-y}{n-x}+\frac{1-y}{2n-1}+\frac{n+x-y}{2n}\R)\frac{(-1)^{n-1}(1-x+y,1+x-y)_{n-1}}{(1-y)_{2n}} \EA$

ずなりたす。すなわち

$\BA\D\\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n-x)(n-y)} =\sum_{n=1}^\infty \L(\frac{2n-y}{n-x}+\frac{1-y}{2n-1}+\frac{n+x-y}{2n}\R)\frac{(-1)^{n-1}(1-x+y,1+x-y)_{n-1}}{(1-y)_{2n}} \EA$

が成り立ちたす。$y\to 0$ずするず

$\BA\D\\ {[\rm A]}\qquad\qquad \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n-x)} =\sum_{n=1}^\infty \L(\frac{2n}{n-x}+\frac{1}{2n-1}+\frac{n+x}{2n}\R)\frac{(-1)^{n-1}(1-x,1+x)_{n-1}}{(2n)!} \EA$

ずなり$x\to -x$ずするず

$\BA\D\\ {[\rm B]}\qquad\qquad \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+x)} =\sum_{n=1}^\infty \L(\frac{2n}{n+x}+\frac{1}{2n-1}+\frac{n-x}{2n}\R)\frac{(-1)^{n-1}(1-x,1+x)_{n-1}}{(2n)!} \EA$

ずなりたす。${[\rm A]+[\rm B]}$より

$\BA\D\\ \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{n^2-x^2} =\sum_{n=1}^\infty \L(\frac{4n^2}{n^2-x^2}+\frac{2n+1}{2n-1}\R)\frac{(-1)^{n-1}}{n^2\binom{2n}{n}}\prod_{m=1}^{n-1}\L(1-\frac{x^2}{m^2}\R) \EA$

たた${[\rm A]-[\rm B]}$より

$\BA\D\\ \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{n(n^2-x^2)} =\sum_{n=1}^\infty \L(\frac{4n}{n^2-x^2}+\frac{1}{n}\R)\frac{(-1)^{n-1}}{n^2\binom{2n}{n}}\prod_{m=1}^{n-1}\L(1-\frac{x^2}{m^2}\R) \EA$

を埗たす。これは$\rm Koecher's~identity$に等しいです。

$\BA\D\\ \EA$

$\D $

$\D $

$\D $

$\D $

$\D $

投皿日2022幎1月29日
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