𝐖𝐙 𝐦𝐞𝐭𝐡𝐨𝐝 𝐢𝐧 𝐟𝐨𝐮𝐫-𝐯𝐚𝐫𝐢𝐚𝐛𝐥𝐞 𝐢𝐧𝐝𝐞𝐱

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$𝙸 𝚗 𝚝 𝚛 𝚘 𝚍 𝚞 𝚌 𝚝 𝚒 𝚘 𝚗$

　この記事で述べたように， $WZ-pair$ は

\begin{array}{r} F (i, j) + G (i + 1, j) = G (i, j) + F (i, j + 1) \end{array}

を満たす $F, G$ の組でした。それは視覚的に表すと，平面上の格子グラフにおいて

\begin{aligned} F (i, j) : w e i g h t o n (i, j) \to (i + 1, j) \\ G (i, j) : w e g h t o n (i, j) \to (i, j + 1) \end{aligned}

としたときに，始点 $(a, b)$ から終点 $(a^{'}, b^{'})$ までに通る格子の重みの和が，どのような経路をたどっても一致するということでした。

$p a t h i n v a r i a n c e i n m u l t i v a r i a b l e$

　一般に $n$ 個のパラメータによって $W Z n -tuple$ を

$D e f i n i t i o n . (x_{1}, \dots, x_{i}, \dots, x_{n})$ から $(x_{1}, \dots, x_{i} + 1, \dots, x_{n})$ への重みを $F_{i} (x_{1}, \dots, x_{n})$ とし， $j \neq k$ に対して $F_{j} (x_{1}, \dots, x_{n})$ と $F_{k} (x_{1}, \dots, x_{n})$ が $WZ-pair$ であるとき，

\begin{array}{r} (F_{1} (x_{1}, \dots, x_{n}), \dots, F_{n} (x_{1}, \dots, x_{n})) \end{array}

を $W Z n -tuple$ と呼ぶ。

と定義します。これにより， $R^{n}$ 上で $p a t h i n v a r i a n t g r i d g r a p h$ が形成されます。

$W Z n -tuple$ の構成

　ほとんどの $W Z n -tuple$ は，次の四つの典型的な超幾何級数の公式と関連していると言われています。
$✔$ $t h e b i n o m i a l t h e o r e m$
$✔$ $G a u s s^{'} s t h e o r e m$
$✔$ $t h e Pfaff- S a a l s c h \ddot{u} t z t h e o r e m$
$✔$ $D o u g a l l^{'} s very-well-poised_{7} F_{6} s u m m a t i o n t h e o r e m$

$W Z 4-tuple$ の構成

$W Z 4-tuple$ は $G a u s s^{'} s t h e o r e m$ と関係しています。 $G a u s s^{'} s t h e o r e m$ とは，

\begin{array}{r} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(a)_{n} (b)_{n}}{(c)_{n} n!} = \frac{Γ (c) Γ (c - a - b)}{Γ (c - a) Γ (c - b)} \end{array}

です。これを書き換えると，

\begin{array}{r} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{Γ (a + n) Γ (b + n) Γ (a + c) Γ (b + c)}{Γ (a) Γ (b) Γ (c) Γ (n + 1) Γ (a + b + c + n)} = 1 \end{array}

というかたちになります。これをもとに考えると，

\begin{array}{r} H (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = \frac{Γ (a_{1} + a_{3} + x_{1} + x_{3}) Γ (a_{1} + a_{4} + x_{1} + x_{4}) Γ (a_{2} + a_{3} + x_{2} + x_{3}) Γ (a_{2} + a_{4} + x_{2} + x_{4})}{Γ (a_{1} + x_{1}) Γ (a_{2} + x_{2}) Γ (a_{3} + x_{3}) Γ (a_{4} + x_{4}) Γ (a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4})} \end{array}

とし，先ほどの定義において

\begin{aligned} F_{i} (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = \frac{H (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})}{a_{i} + x_{i}} (i = 1, 2) \\ F_{i} (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = - \frac{H (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})}{a_{i} + x_{i}} (i = 3, 4) \end{aligned}

という表示が成り立つことがわかりました。
具体的に書くと

\begin{aligned} F_{1} (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) - F_{1} (x_{1}, x_{2} + 1, x_{3}, x_{4}) & = F_{2} (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) - F_{2} (x_{1} + 1, x_{2}, x_{3}, x_{4}) \\ F_{1} (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) - F_{1} (x_{1}, x_{2}, x_{3} + 1, x_{4}) & = F_{3} (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) - F_{3} (x_{1} + 1, x_{2}, x_{3}, x_{4}) \\ F_{1} (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) - F_{1} (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} + 1) & = F_{4} (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) - F_{4} (x_{1} + 1, x_{2}, x_{3}, x_{4}) \\ F_{2} (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) - F_{2} (x_{1}, x_{2}, x_{3} + 1, x_{4}) & = F_{3} (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) - F_{3} (x_{1}, x_{2} + 1, x_{3}, x_{4}) \\ F_{2} (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) - F_{2} (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} + 1) & = F_{4} (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) - F_{4} (x_{1}, x_{2} + 1, x_{3}, x_{4}) \\ F_{3} (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) - F_{3} (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} + 1) & = F_{4} (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) - F_{4} (x_{1}, x_{2}, x_{3} + 1, x_{4}) \end{aligned}

が成り立ちます。
　また，一つの $WZ-pair$ をもとづいて，新たな $WZ-pair$ を生成するための単純な操作が３つ挙げられます。

$S h i f t i n g :$ すべてのパラメータは（発散しない限り）任意の複素数に対して平行移動可能である。

\begin{array}{r} (F_{1} (x_{1}, \dots, x_{n}), \dots, F_{n} (x_{1}, \dots, x_{n})) \to (F_{1} (x_{1} + z_{1}, \dots, x_{n} + z_{n}), \dots, F_{n} (x_{1} + z_{1}, \dots, x_{n} + z_{n})) \end{array}

$S h a d o w i n g :$ 周期が $1$ の関数を掛けたものも $W Z n -tuple$ となる。

\begin{array}{r} H (x_{1}, \dots, x_{n}) \to \cos (π x_{i}) Γ (a_{i} + x_{i}) Γ (1 - a_{i} - x_{i}) H (x_{1}, \dots, x_{n}) \end{array}

S y m m e t r i z a t i o n :

(F (x, y), G (x, y))

が

WZ-pair

であり

\begin{array}{r} F (x, y) - F (x, y + 1) = G (x, y) - G (x + 1, y) \end{array}

が成り立つとき，

(G (- y, - x - 1), F (- y - 1, - x))

も

WZ-pair

となる。

\begin{array}{r} (F (x, y), G (x, y)) \to (G (- y, - x - 1), F (- y - 1, - x)) \end{array}

$S y m m e t r i z a t i o n$ の内容は有名事実ですが，特定の呼称があるかどうかわからなかっので，ここではこう呼ぶことにします。また， $(F, G) \neq (G, F)$ であることに注意してください。
　この３つの法則を用いることで，１つの $W Z n -tuple$ をもとに別の $W Z n -tuple$ を生成することができます。

$W Z m e t h o d i n R^{4}$

$R^{4}$ 上の $W Z m e t h o d$ を考え，無限級数の恒等式を得ることを目指します。

\begin{array}{r} H (i, j, k, l) = (- 1)^{k} \frac{Γ (1 - k) Γ (1 + a + i + k) Γ (1 - a + i + l) Γ (1 + j + k) Γ (1 - 2 a + j + l)}{Γ (1 + a + i) Γ (1 + j) Γ (- 2 a + l) Γ (2 - a + i + j + k + l)} \end{array}

とし， $W Z 4 -tuple$ を

\begin{array}{r} (F_{1} (i, j, k, l), F_{2} (i, j, k, l), F_{3} (i, j, k, l), F_{4} (i, j, k, l)) = (\frac{H (i, j, k, l)}{1 + a + i}, \frac{H (i, j, k, l)}{1 + j}, - \frac{H (i, j, k, l)}{k}, - \frac{H (i, j, k, l)}{- 2 a + l}) \end{array}

とします。また，位置 $L$ から $L^{'}$ までの重みを $W [L \to L^{'}]$ と書くことにします。
位置 $(0, 0, 0, 0)$ から $(1, 0, 0, 0)$ ずつ進む経路の重みの和は

\begin{aligned} \sum_{n = 0}^{\infty} W [(n, 0, 0, 0) \to (n + 1, 0, 0, 0)] \\ = & \sum_{n = 0}^{\infty} F_{1} (n, 0, 0, 0) \\ = & \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{1 + a + n} \frac{Γ (1 - a + n) Γ (1 - 2 a)}{Γ (- 2 a) Γ (2 - a + n)} \\ = & - 2 a \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2} - a^{2}} \end{aligned}

となります。
位置 $(0, 0, 0, 0)$ から $(1, 2, - 1, - 1)$ ずつ進む経路の重みの和は

\begin{array}{r} \sum_{n = 0}^{\infty} W [(n, 2 n, - n, - n) \to (n + 1, 2 n + 2, - n - 1, - n - 1)] \end{array}

となります。ここで， $W [(n, 2 n, - n, - n) \to (n + 1, 2 n + 2, - n - 1, - n - 1)]$ は， $i \to j \to k \to l$ の順に進むものとして計算すると，

\begin{aligned} F_{1} (n, 2 n, - n, - n) + F_{2} (n + 1, 2 n, - n, - n) + F_{2} (n + 1, 2 n + 1, - n, - n) \\ - & F_{3} (n + 1, 2 n + 2, - n - 1, - n) - F_{4} (n + 1, 2 n + 2, - n - 1, - n - 1) \end{aligned}

に等しくなります。これを人力で計算するのは時間の無駄ですし，計算量が膨大で人の手でするものじゃないと思うんですよね。なんかそういう計算してくれるサイトみたいなのあったらいいですよね。ほんとうに。よく知りませんが。
それで，計算した結果は

\begin{array}{r} - \frac{3 a}{1 - a^{2}} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(2)_{n} (1 - 2 a, 1 + 2 a)_{n}}{2^{2 n} {(\frac{3}{2})}_{n} (2 - a, 2 + a)_{n}} \end{array}

となるらしいです。たしかに数値は一致しました。
さらに， $W [(n, 0, 0, 0) \to (n, 2 n, - n, - n)]$ は， $n \to \infty$ で $0$ に収束し，

\begin{array}{r} - 2 a \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2} - a^{2}} = - \frac{3 a}{1 - a^{2}} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(2)_{n} (1 - 2 a, + 2 a)_{n}}{2^{2 n} {(\frac{3}{2})}_{n} (2 - a, 2 + a)_{n}} \end{array}

すなわち

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2} - a^{2}} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{3}{(\binom{2 n}{n}) (n^{2} - a^{2})} \prod_{m = 1}^{n - 1} \frac{m^{2} - 4 a^{2}}{m^{2} - a^{2}} \end{array}

という式が得られます。
より一般には， $H (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = \dots$ の式において， $(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}) = (1 + a, 1, 0, - a - b)$ とすることで

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{(n - a) (n - b)} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{3 n - a - b}{n (\binom{2 n}{n})} \frac{(1 - a + b, 1 + a - b)_{n - 1}}{(1 - a)_{n} (1 - b)_{n}} \end{array}

となります。
　ほかにも具体例を計算してみました。
$(0, 0, 0, 0)$ から $(1, 1, - 1, 0)$ ずつ進むことで

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2} - x^{2}} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n - 1} (2 n - x)}{n (n^{2} - x^{2})} \frac{(1 - 2 x)_{n - 1}}{(1 + x)_{n - 1}} \end{array}

を得ます。
$(0, 0, 0, 0)$ から $(1, 2, - 1, 0)$ ずつ進むことで

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2} - x^{2}} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n - 1} (10 n^{2} - 3 (1 + 2 x) n + x)}{n (\binom{2 n}{n})} \frac{(1 - x)_{n - 1} (1 - 2 x)_{2 n - 2}}{(1 + x)_{n} (1 - x)_{2 n}} \end{array}

を得ます。
$(0, 0, 0, 0)$ から $(2, 2, - 1, - 1)$ ずつ進むことで

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2} - x^{2}} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{21 n^{3} - 8 n^{2} - x^{2} (9 n - 2)}{n (\binom{2 n}{n})} \frac{(1 - x, 1 + x, 1 - 2 x, 1 + 2 x)_{n - 1}}{(1 - x, 1 + x)_{2 n}} \end{array}

を得ます。

$K o e c h e r^{'} s i d e n t i t y$

次の等式が成り立ちます。

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n (n^{2} - x^{2})} = \frac{1}{2} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n - 1}}{n^{3} (\binom{2 n}{n})} (1 + \frac{4 n^{2}}{n^{2} - x^{2}}) \prod_{m = 1}^{n - 1} (1 - \frac{x^{2}}{m^{2}}) \end{array}

これは，

\begin{aligned} F (n, k) & = \frac{(- 1)^{n} k! (1 - x, 1 + x)_{n}}{(2 n + k + 1)! ((n + k + 1)^{2} - x^{2})} \\ G (n, k) & = \frac{(- 1)^{n} k! (1 - x, 1 + x)_{n} (5 (n + 1)^{2} - x^{2} + k^{2} + 4 k (n + 1))}{(2 n + k + 2)! ((n + k + 1)^{2} - x^{2}) (2 n + 2)} \end{aligned}

が

\begin{array}{r} F (n, k) - F (n + 1, k) = G (n, k) - G (n, k + 1) \end{array}

を満たすことから

\begin{array}{r} \sum_{n = 0}^{\infty} F (0, n) = \sum_{n = 0}^{\infty} G (n, 0) \end{array}

を考えることで得ることができます。これを含めて似た等式の証明が，例えばここで見ることができます。
ではこの式を $W Z n -tuple$ として間接的に証明してみます。

\begin{array}{r} H (i, j, k, l) = \frac{(a_{1} + a_{3})_{i + k} (a_{1} + a_{4})_{i + l} (a_{2} + a_{3})_{j + k} (a_{2} + a_{4})_{j + l}}{(a_{1})_{i} (a_{2})_{j} (a_{3})_{k} (a_{4})_{l} (- 1 + a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4})_{i + j + k + l + 1}} \end{array}

において， $k = 0$ の場合の

\begin{array}{r} H (i, j, 0, l) = \frac{(a_{1} + a_{3})_{i} (a_{1} + a_{4})_{i + l} (a_{2} + a_{3})_{j} (a_{2} + a_{4})_{j + l}}{(a_{1})_{i} (a_{2})_{j} (a_{4})_{l} (- 1 + a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4})_{i + j + l + 1}} \end{array}

に対して， $(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}) = (1 - x, 1, 0, x - y)$ を代入し， $l \to k$ と書き

\begin{aligned} H (i, j, k) = \frac{(1 - y)_{i + k} (1 + x - y)_{j + k}}{(x - y)_{k} (1 - y)_{i + j + k + 1}} \\ F_{1} (i, j, k) = \frac{H (i, j, k)}{1 - x + i} \\ F_{2} (i, j, k) = \frac{H (i, j, k)}{j + 1} \\ F_{3} (i, j, k) = - \frac{H (i, j, k)}{x - y + k} \end{aligned}

と改めます。
$(0, 0, 0)$ を始点として $(1, 0, 0)$ ずつ進んだときの重みの和は

\begin{array}{r} \sum_{n = 0}^{\infty} F_{1} (n, 0, 0) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{(n - x) (n - y)} \end{array}

となります。
$(0, 0, 0)$ を始点として $(1, 2, - 1)$ ずつ進んだときの重みの和は

\begin{aligned} \sum_{n = 0}^{\infty} (F_{1} (n, 2 n, - n) + F_{2} (n + 1, 2 n, - n) + F_{2} (n + 1, 2 n + 1, - n) - F_{3} (n + 1, 2 n + 2, - n - 1)) \\ = & \sum_{n = 0}^{\infty} (\frac{1}{1 - x + n} \frac{(1 + x - y)_{n}}{(x - y)_{- n} (1 - y)_{2 n + 1}} + \frac{1}{2 n + 1} \frac{(1 - y) (1 + x - y)_{n}}{(x - y)_{- n} (1 - y)_{2 n + 2}} + \frac{1}{2 n + 2} \frac{(1 - y) (1 + x - y)_{n + 1}}{(x - y)_{- n} (1 - y)_{2 n + 3}} + \frac{1}{x - y - n - 1} \frac{(1 + x - y)_{n + 1}}{(x - y)_{- n - 1} (1 - y)_{2 n + 3}}) \\ = & \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{2 n - y}{n - x} + \frac{1 - y}{2 n - 1} + \frac{n + x - y}{2 n}) \frac{(- 1)^{n - 1} (1 - x + y, 1 + x - y)_{n - 1}}{(1 - y)_{2 n}} \end{aligned}

となります。すなわち

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{(n - x) (n - y)} = \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{2 n - y}{n - x} + \frac{1 - y}{2 n - 1} + \frac{n + x - y}{2 n}) \frac{(- 1)^{n - 1} (1 - x + y, 1 + x - y)_{n - 1}}{(1 - y)_{2 n}} \end{array}

が成り立ちます。 $y \to 0$ とすると

\begin{array}{r} [A] \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n (n - x)} = \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{2 n}{n - x} + \frac{1}{2 n - 1} + \frac{n + x}{2 n}) \frac{(- 1)^{n - 1} (1 - x, 1 + x)_{n - 1}}{(2 n)!} \end{array}

となり， $x \to - x$ とすると

\begin{array}{r} [B] \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n (n + x)} = \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{2 n}{n + x} + \frac{1}{2 n - 1} + \frac{n - x}{2 n}) \frac{(- 1)^{n - 1} (1 - x, 1 + x)_{n - 1}}{(2 n)!} \end{array}

となります。 $[A] + [B]$ より

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2}{n^{2} - x^{2}} = \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{4 n^{2}}{n^{2} - x^{2}} + \frac{2 n + 1}{2 n - 1}) \frac{(- 1)^{n - 1}}{n^{2} (\binom{2 n}{n})} \prod_{m = 1}^{n - 1} (1 - \frac{x^{2}}{m^{2}}) \end{array}

また， $[A] - [B]$ より

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2}{n (n^{2} - x^{2})} = \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{4 n}{n^{2} - x^{2}} + \frac{1}{n}) \frac{(- 1)^{n - 1}}{n^{2} (\binom{2 n}{n})} \prod_{m = 1}^{n - 1} (1 - \frac{x^{2}}{m^{2}}) \end{array}

を得ます。これは $K o e c h e r^{'} s i d e n t i t y$ に等しいです。

\begin{array}{r}  \end{array}

投稿日：2022年1月29日

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${\rm path~invariance~in~multivariable}$
${\rm WZ~}n\textrm{-tuple}$の構成
${\rm WZ~}\textrm{4-tuple}$の構成
$\rm WZ~method~in~{\mathbb R}^4$
$\rm Koecher's~identity$

𝐖𝐙 𝐦𝐞𝐭𝐡𝐨𝐝 𝐢𝐧 𝐟𝐨𝐮𝐫-𝐯𝐚𝐫𝐢𝐚𝐛𝐥𝐞 𝐢𝐧𝐝𝐞𝐱

path invariance in multivariable

WZ n-tupleの構成

WZ 4-tupleの構成

WZ method in R4

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