こんにちは.今回は次の極限を求めていきます.
基本的には前回の記事と同様の手続きを踏みます.
前回の記事はコチラ
https://mathlog.info/articles/2973
今回も二重数列を扱うので,関連する話題をここに載せておきます.準備の内容は前回の記事と全く同じです.これらは高木貞治先生の解析概論から引用させて頂いてます.
二重数列
が成り立つということは,任意の正の実数
二重数列
が成り立つと仮定する.また,任意の
が成り立つとする.このとき,
が成り立つ.即ち,
二重数列
が成り立つとする.更に,この収束は
さて,極限(1)の値を計算しましょう.ここで極限(1)を再掲しておきます.
極限とシグマが見えるので区分求積を思いつきます.そこで極限の中身を次のように変形します.
前回同様,普通の区分求積だったら,ここで
が成り立つと予想されます.これからこの直感を正当化していきましょう.
まず,前回と同様に新しく添字
という値を考えることにします.もしこの極限値が存在すれば,それが求めるべき値に等しくなります.
が成り立ちます.
と書けます.さて,
ここで,定理2を用いるために極限
の存在を言いましょう.
と計算できれば一番良いのですが,閉区間
まず,
と置きます.任意の
が成り立つので,
が成り立つので,任意の
となります.従って
ここで定理2を用いることで,
が成り立つことが分かります.ところで,
が成り立つので,ここで定理1を用いることで,
が成り立つことが分かります.右辺の極限は区分求積法から
と求まるので,
今回は,前回と違って,
今回の記事は以上です.
お読み頂きありがとうございました.