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高校数学解説
文献あり

ちょっと困る区分求積法 その2

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はじめに

こんにちは.今回は次の極限を求めていきます.
(1)limnk=1nkk22nkn
基本的には前回の記事と同様の手続きを踏みます.

前回の記事はコチラ
https://mathlog.info/articles/2973

準備(再掲)

今回も二重数列を扱うので,関連する話題をここに載せておきます.準備の内容は前回の記事と全く同じです.これらは高木貞治先生の解析概論から引用させて頂いてます.

二重数列の極限

二重数列{am,n}を考える.ある実数αが存在して
α=limm,nam,n
が成り立つということは,任意の正の実数εに対してある正の整数Nが存在して,任意のm,n>Nに対して|am,nα|<εが成り立つことである.

二重数列{am,n}を考える.ある実数αが存在して
α=limm,nam,n
が成り立つと仮定する.また,任意のnに対してある実数bnが存在して
bn=limmam,n
が成り立つとする.このとき,
α=limnbn
が成り立つ.即ち,limm,nam,n=limn(limmam,n)が成り立つ.

二重数列{am,n}を考える.任意のnに対してある実数bnが存在して
bn=limmam,n
が成り立つとする.更に,この収束はnに関して一様であるとする.即ち,任意の正の実数εに対してnに依らないある正の整数Mが存在して,全てのnと任意のm>Mに対して|am,nbn|<εが成り立つとする.また,α=limnbnが成り立つとする.このとき,次が成り立つ.
α=limm,nam,n

極限(1)の値を求める

さて,極限(1)の値を計算しましょう.ここで極限(1)を再掲しておきます.
(1)limnk=1nkk22nkn
極限とシグマが見えるので区分求積を思いつきます.そこで極限の中身を次のように変形します.
k=1nkk22nkn=1nk=1nkn(kn)22kn1n
前回同様,普通の区分求積だったら,ここでnとすることで直ぐに積分に移行できるのですが,今回も1nという項がお邪魔なのでそうはいきません.しかし,nのとき1n0なので,直感的には
limn1nk=1nkn(kn)22kn1n=01xx22xdx=011x2dx=log2
が成り立つと予想されます.これからこの直感を正当化していきましょう.

まず,前回と同様に新しく添字mを導入して,
limm,n1nk=1nkn(kn)22kn1m
という値を考えることにします.もしこの極限値が存在すれば,それが求めるべき値に等しくなります.mを任意に固定した上でnについて極限を取ると,区分求積法から
limn1nk=1nkn(kn)22kn1m=01xx22x1mdx
が成り立ちます.fm(x)=xx22x1mと置くと,この等式は
limn1nk=1nfm(kn)=01fm(x)dx
と書けます.さて,fm(x)は閉区間[0,1]において単調減少です.従って,前回と同様の議論により,この収束がmに関して一様収束であることが分かります.

ここで,定理2を用いるために極限
limm01fm(x)dx
の存在を言いましょう.mとするとfm(x)1x2となるので,
limm01fm(x)dx=01limmfm(x)dx
と計算できれば一番良いのですが,閉区間[0,1]において,mのときfm(x)1x2に一様収束しないので(x=0のところを考えれば分かります),この計算はできません.そこで,次のような方法を取ります.

まず,
Im=01fm(x)dx
と置きます.任意のmに対してfm(x)0(x[0,1])です.更に,m<mのとき,
fm(x)fm(x)=x(1m1m)(x22x1m)(x22x1m)0(x[0,1])
が成り立つので,ImIm0が成り立ちます.即ち,{Im}は単調減少列です.加えて,任意のmに対して
fm(x)1x2=1m(x22x1m)(x2)>0(x[0,1])
が成り立つので,任意のmに対して
Im>011x2dx=log2
となります.従って{Im}は下に有界な単調減少列なので,その極限limmImが存在します.その値をαと置きます.

ここで定理2を用いることで,
α=limm,n1nk=1nkn(kn)22kn1m
が成り立つことが分かります.ところで,
limm1nk=1nkn(kn)22kn1m=1nk=1nkn(kn)22kn
が成り立つので,ここで定理1を用いることで
α=limn1nk=1nkn(kn)22kn
が成り立つことが分かります.右辺の極限は区分求積法から
limn1nk=1nkn(kn)22kn=01xx22xdx=011x2dx=log2
と求まるので,α=log2です.以上より,最終的な解答は次の通りです.
limnk=1nkk22nkn=log2

今回は,前回と違って,fm(x)の収束が区間[0,1]において一様収束でない例を扱ってみました.ひとまず,極限limmfm(x)の具体的な値ではなくその存在を言うところがポイントですね.

今回の記事は以上です.
お読み頂きありがとうございました.

参考文献

[1]
高木貞治, 定本 解析概論, 岩波書店, 2010, p184
投稿日:202224
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certain
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素朴な問題が特に好きです.

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