arcsinとその2乗のMaclaurin展開の証明

ここでは, $\arcsin x$のMaclaurin展開,
$$\begin{array}{r}\arcsin x=\sum _{0<n}\frac{1}{2^{2n}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\end{array}$$と${\arcsin }^{2}x$のMaclaurin展開,
$$\begin{array}{r}{\arcsin }^{2}x=\frac{1}{2}\sum _{0<n}\frac{(2x{)}^{2n}}{n^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}\end{array}$$を超幾何級数をもちいて証明したいと思います. ここで,
$$\begin{array}{r}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}):=\frac{n!}{k!(n-k)!}\end{array}$$
は二項係数であり, $\arcsin x$の定義は，
$$\begin{array}{r}\arcsin x:={\int }_0^x\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt\end{array}$$ をもちいます.

$\arcsin x$のMaclaurin展開.

被積分関数をMaclaurin展開すると, 一般に, Pochhammer記号，$(a{)}_n=a(a+1)\cdots (a+n-1)$をもちいて,
$$\begin{array}{r}(1-x{)}^{-a}=\sum _{0\le n}\frac{(a{)}_n}{n!}{x}^n\end{array}$$となることから,
$$\begin{array}{r}\frac{1}{\sqrt{1-t}}=\sum _{0\le n}\frac{{\left(\frac{1}{2}\right)}_n}{n!}{t}^n\end{array}$$なので, これを項別積分していきます. (べき級数なので, 収束円内で項別積分が可能です.)
$$\begin{array}{rcl}\arcsin x& =& {\int }_0^x\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt\\ & =& {\int }_0^x\sum _{0\le n}\frac{{\left(\frac{1}{2}\right)}_n}{n!}{t}^{2n}dt\\ & =& \sum _{0\le n}\frac{{\left(\frac{1}{2}\right)}_n}{n!}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\end{array}$$ここで,
$$\begin{array}{rcl}{\left(\frac{1}{2}\right)}_n& =& \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdots \frac{2n-1}{2}\\ & =& \frac{1}{2^n}\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdots (2n-1)\cdot (2n)}{2\cdot 4\cdots (2n)}\\ & =& \frac{(2n)!}{2^{2n}n!}\end{array}$$となるので,
$$\begin{array}{rcl}\arcsin x& =& \sum _{0\le n}\frac{{\left(\frac{1}{2}\right)}_n}{n!}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\\ & =& \sum _{0\le n}\frac{1}{2^{2n}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\end{array}$$となって, $\arcsin x$のMaclaurin展開が得られました.

${\arcsin }^{2}x$のMaclaurin展開.

$\arcsin x$のMaclaurin展開を超幾何級数に直していきます. 超幾何級数の定義は, $(a_1,\dots ,a_r{)}_n:=(a_1{)}_n(a_2{)}_n\cdots (a_r{)}_n$として,
$$\begin{array}{r}{}_2{F}_1[\begin{array}{c}a,b\\ c\end{array};x]=\sum _{0\le n}\frac{(a,b{)}_n}{(c{)}_{n}n!}{x}^n\end{array}$$なので,
$$\begin{array}{r}\frac{1}{2n+1}=\frac{{\left(\frac{1}{2}\right)}_n}{{\left(\frac{3}{2}\right)}_n}\end{array}$$と表せることから,
$$\begin{array}{rcl}\arcsin x& =& \sum _{0\le n}\frac{{\left(\frac{1}{2}\right)}_n}{n!}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\\ & =& \sum _{0\le n}\frac{{(\frac{1}{2},\frac{1}{2})}_n}{{\left(\frac{3}{2}\right)}_{n}n!}{x}^{2n+1}\\ & =& x{}_2{F}_1[\begin{array}{c}\frac{1}{2},\frac{1}{2}\\ \frac{3}{2}\end{array};x^2]\end{array}$$と表すことができます. ここで, Eulerの変換公式
$$\begin{array}{r}{}_2{F}_1[\begin{array}{c}a,b\\ c\end{array};x]=(1-x{)}^{c-a-b}{}_2{F}_1[\begin{array}{c}c-a,c-b\\ c\end{array};x]\end{array}$$をもちいることができます.
$$\begin{array}{rcl}\arcsin x& =& x{}_2{F}_1[\begin{array}{c}\frac{1}{2},\frac{1}{2}\\ \frac{3}{2}\end{array};x^2]\\ & =& x\sqrt{1-x^2}{}_2{F}_1[\begin{array}{c}1,1\\ \frac{3}{2}\end{array};x^2]\end{array}$$よって,
$$\begin{array}{r}\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}=x{}_2{F}_1[\begin{array}{c}1,1\\ \frac{3}{2}\end{array};x^2]\end{array}$$となるので, 項別積分によって,
$$\begin{array}{rcl}{\arcsin }^{2}x& =& 2{\int }_0^x\frac{\arcsin t}{\sqrt{1-t^2}}dt\\ & =& 2{\int }_0^{x}t{}_2{F}_1[\begin{array}{c}1,1\\ \frac{3}{2}\end{array};t^2]dt\\ & =& 2{\int }_0^x\sum _{0\le n}\frac{(1,1{)}_n}{{\left(\frac{3}{2}\right)}_{n}n!}{t}^{2n+1}dt\\ & =& 2\sum _{0\le n}\frac{n!}{{\left(\frac{3}{2}\right)}_n}\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\end{array}$$さて, さきほどと同様に,
$$\begin{array}{r}{\left(\frac{3}{2}\right)}_n=\frac{(2n+1)!}{2^{2n}n!}\end{array}$$であることから, 目的の式,
$$\begin{array}{rcl}{\arcsin }^{2}x& =& 2\sum _{0\le n}\frac{n!}{{\left(\frac{3}{2}\right)}_n}\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\\ & =& 2\sum _{0\le n}\frac{n{!}^2}{(2n+2)!}{2}^{2n}{x}^{2n+2}\\ & =& \frac{1}{2}\sum _{0<n}\frac{(n-1){!}^2}{(2n)!}(2x{)}^{2n}\\ & =& \frac{1}{2}\sum _{0<n}\frac{(2x{)}^{2n}}{n^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}\end{array}$$が得られました. 具体的に値を代入してみます. Abelの連続性定理から, $x=1$とできます. すると,
$$\begin{array}{r}\sum _{0<n}\frac{2^{2n}}{n^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}=\frac{{\pi }^2}{2}\end{array}$$となります. 余談ですが,
$$\begin{array}{r}\sum _{0<n}\frac{2^{2n}}{n^3(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}={\pi }^2\ln 2-\frac{7}{2}\zeta (3)\end{array}$$のような値も得ることができます. 興味ある読者は挑戦してみてください. さて, $x=\frac{1}{2}$とすると,
$$\begin{array}{r}\sum _{0<n}\frac{1}{n^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}=\frac{{\pi }^2}{18}\end{array}$$と非常に綺麗になります. この形の等式はいろいろあるので, 最後に綺麗な一例を挙げておきたいと思います.
$$\begin{array}{rcl}\sum _{0<n}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^3(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}& =& \frac{2}{5}\zeta (3)\\ \sum _{0<n}\frac{1}{n^4(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}& =& \frac{17{\pi }^4}{3240}\end{array}$$