arcsinとその2乗のMaclaurin展開の証明

ここでは, $\arcsin x$のMaclaurin展開,
$$\begin{eqnarray} \arcsin x=\sum_{0< n}\frac 1{2^{2n}}\binom{2n}n\frac{x^{2n+1}}{2n+1} \end{eqnarray}$$と$\arcsin^2 x$のMaclaurin展開,
$$\begin{eqnarray} \arcsin^2x=\frac 12\sum_{0< n}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}n} \end{eqnarray}$$を超幾何級数をもちいて証明したいと思います. ここで,
$$\begin{eqnarray} \binom{n}{k}:=\frac{n!}{k!(n-k)!} \end{eqnarray}$$
は二項係数であり, $\arcsin x$の定義は，
$$\begin{eqnarray} \arcsin x:=\int_0^x\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}~dt \end{eqnarray}$$ をもちいます.

$\arcsin x$のMaclaurin展開.

被積分関数をMaclaurin展開すると, 一般に, Pochhammer記号，$(a)_n=a(a+1)\cdots(a+n-1)$をもちいて,
$$\begin{eqnarray} (1-x)^{-a}=\sum_{0\leq n}\frac{(a)_n}{n!}x^n \end{eqnarray}$$となることから,
$$\begin{eqnarray} \frac 1{\sqrt{1-t}}=\sum_{0\leq n}\frac{{\left(\frac 12\right)}_n}{n!}t^n \end{eqnarray}$$なので, これを項別積分していきます. (べき級数なので, 収束円内で項別積分が可能です.)
$$\begin{eqnarray} \arcsin x&=&\int_0^x\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}~dt\\ &=&\int_0^x\sum_{0\leq n}\frac{{\left(\frac 12\right)}_n}{n!}t^{2n}~dt\\ &=&\sum_{0\leq n}\frac{\kak{\frac 12}_n}{n!}\frac{x^{2n+1}}{2n+1} \end{eqnarray}$$ここで,
$$\begin{eqnarray} \kak{\frac 12}_n&=&\frac 12\cdot\frac 32\cdots\frac{2n-1}2\\ &=&\frac 1{2^{n}}\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdots(2n-1)\cdot(2n)}{2\cdot 4\cdots (2n)}\\ &=&\frac {(2n)!}{2^{2n}n!} \end{eqnarray}$$となるので,
$$\begin{eqnarray} \arcsin x&=&\sum_{0\leq n}\frac{\kak{\frac 12}_n}{n!}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\\ &=&\sum_{0\leq n}\frac 1{2^{2n}}\binom{2n}{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1} \end{eqnarray}$$となって, $\arcsin x$のMaclaurin展開が得られました.

$\arcsin^2 x$のMaclaurin展開.

$\arcsin x$のMaclaurin展開を超幾何級数に直していきます. 超幾何級数の定義は, $(a_1,\dots,a_r)_n:=(a_1)_n(a_2)_n\cdots(a_r)_n$として,
$$\begin{eqnarray} \F21{a,b}{c}{x}=\sum_{0\leq n}\frac{(a,b)_n}{(c)_nn!}x^n \end{eqnarray}$$なので,
$$\begin{eqnarray} \frac 1{2n+1}=\frac{\kak{\frac 12}_n}{\kak{\frac 32}_n} \end{eqnarray}$$と表せることから,
$$\begin{eqnarray} \arcsin x&=&\sum_{0\leq n}\frac{\kak{\frac 12}_n}{n!}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\\ &=&\sum_{0\leq n}\frac{\kak{\frac 12,\frac 12}_n}{\kak{\frac 32}_nn!}x^{2n+1}\\ &=&x~\F21{\frac 12,\frac 12}{\frac 32}{x^2} \end{eqnarray}$$と表すことができます. ここで, Eulerの変換公式
$$\begin{eqnarray} \F21{a,b}{c}{x}=(1-x)^{c-a-b}\F21{c-a,c-b}c{x} \end{eqnarray}$$をもちいることができます.
$$\begin{eqnarray} \arcsin x&=&x~\F21{\frac 12,\frac 12}{\frac 32}{x^2}\\ &=&x\sqrt{1-x^2}~\F21{1,1}{\frac 32}{x^2} \end{eqnarray}$$よって,
$$\begin{eqnarray} \frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}=x~\F21{1,1}{\frac 32}{x^2} \end{eqnarray}$$となるので, 項別積分によって,
$$\begin{eqnarray} \arcsin^2x&=&\frac 12\int_0^x\frac{\arcsin t}{\sqrt{1-t^2}}~dt\\ &=&2\int_0^xt~\F21{1,1}{\frac 32}{t^2}~dt\\ &=&2\int_0^x\sum_{0\leq n}\frac {(1,1)_n}{\kak{\frac 32}_nn!}t^{2n+1}~dt\\ &=&2\sum_{0\leq n}\frac{n!}{\kak{\frac 32}_n}\frac{x^{2n+2}}{2n+2} \end{eqnarray}$$さて, さきほどと同様に,
$$\begin{eqnarray} \kak{\frac 32}_n=\frac{(2n+1)!}{2^{2n}n!} \end{eqnarray}$$であることから, 目的の式,
$$\begin{eqnarray} \arcsin^2x&=&2\sum_{0\leq n}\frac{n!}{\kak{\frac 32}_n}\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\\ &=&2\sum_{0\leq n}\frac{n!^2}{(2n+2)!}2^{2n}x^{2n+2}\\ &=&\frac 12\sum_{0\lt n}\frac{(n-1)!^2}{(2n)!}(2x)^{2n}\\ &=&\frac 12\sum_{0\lt n}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}n} \end{eqnarray}$$が得られました. 具体的に値を代入してみます. Abelの連続性定理から, $x=1$とできます. すると,
$$\begin{eqnarray} \sum_{0\lt n}\frac{2^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}=\frac{\pi^2}2 \end{eqnarray}$$となります. 余談ですが,
$$\begin{eqnarray} \sum_{0\lt n}\frac{2^{2n}}{n^3\binom{2n}{n}}=\pi^2\ln 2-\frac 72\zeta(3) \end{eqnarray}$$のような値も得ることができます. 興味ある読者は挑戦してみてください. さて, $x=\frac 12$とすると,
$$\begin{eqnarray} \sum_{0\lt n}\frac{1}{n^2\binom{2n}n}=\frac{\pi^2}{18} \end{eqnarray}$$と非常に綺麗になります. この形の等式はいろいろあるので, 最後に綺麗な一例を挙げておきたいと思います.
$$\begin{eqnarray} \sum_{0\lt n}\frac{(-1)^{n-1}}{n^3\binom{2n}n}&=&\frac 25\zeta(3)\\ \sum_{0\lt n}\frac{1}{n^4\binom{2n}n}&=&\frac{17\pi^4}{3240}\\ \end{eqnarray}$$