全てのコンパクト集合が閉であるがHausdorffでない位相空間
$X$を位相空間とする．次は同値である．
(1) $X$は$T_1$．
(2) 任意の$X$の一点集合は閉集合である．
です．また，
$X$を位相空間とする．(1)$\Longrightarrow$(2)である．
(1) $X$はHausdorff．
(2) 任意の$X$のコンパクト集合は閉集合である．
です．(2)$\Longrightarrow$(1)が成立するのかが気になります．
一般には，命題2(2)$\Longrightarrow$(1)は成り立たない．
証明の準備をします．
$X$を任意の集合とする．$X$の部分集合族$\mathcal{O}_c$を
$$
\mathcal{O}_c=\{U\subset X\mid X\setminus U\text{は高々可算}\}\cup\{\emptyset\}
$$
と定めると，これは$X$の位相であり，補可算位相(cocountable topology)という．
$X$が高々可算な集合のとき，$\mathcal{O}_c$は離散位相になります．
$X$を非可算集合とする．$(X,\mathcal{O}_c)$はHausdorffでない．
$X$の異なる2点$x,y\in X$を任意にとり固定する．
$$
x\in U_x,\quad y\in U_y
$$
なる$U_x,U_y$をそれぞれ任意にとる．$U_x,U_y$はともに空でないので，
$$
U_x=X\setminus F_x,\quad U_y=X\setminus F_y,
$$
を満たす，$X$の高々可算な部分集合$F_x,F_y$が取れる．このとき，
$$
U_x\cap U_y=X\setminus(F_x\cup F_y)
$$
であり，$F_x\cup F_y$は高々可算なので，$U_x\cap U_y$は空でない．ゆえに，$(X,\mathcal{O}_c)$はHausdorffでない．
$X$を任意の集合とする．$(X,\mathcal{O}_c)$の任意のコンパクト部分集合は有限集合である．
$X$が高々可算なとき$\mathcal{O}_c$は離散位相なのでよい．$X$が非可算集合の場合を示す．$X$の無限部分集合$B$がコンパクトでないことを示す．$B$の可算無限部分集合$A$を一つ取る．任意の$a\in A$に対し，
$$
U_a=X\setminus(A\setminus\{a\})=(X\setminus A)\cup\{a\}
$$
とおくと，$A\setminus\{a\}$が可算無限集合であることから$U_a$は開集合である．また，
$$
\bigcup_{a\in A}U_a=(X\setminus A)\cup\Bigl(\bigcup_{a\in A}\{a\}\Bigr)=X\supset B
$$
である．一方，$A$の任意の有限部分集合$F$に対し，
$$\begin{align}
B\cap\Bigl(\bigcup_{a\in F}U_a\Bigr)&=B\cap\left((X\setminus A)\cup F\right)\\
&=(B\setminus A)\cup F\\
&=B\setminus(A\setminus F)\\
&\subsetneq B
\end{align}$$
であるから，
$$
B\not\subset\bigcup_{a\in F}U_a
$$
である．ゆえに，$B$はコンパクトではない．すなわち，$(X,\mathcal{O}_c)$のコンパクト部分集合は有限集合に限る．
$X$を非可算無限集合とします．このとき，$(X,\mathcal{O}_c)$はHausdorffではありません．しかし，任意のコンパクト部分集合は有限なので，補可算位相の定義より閉集合となります．これは命題2(2)$\Longrightarrow$(1)の反例を与えています．
追記）すべてのコンパクト部分集合が閉集合になるような位相空間をKC-spaceというらしいです．KC-spaceは$T_2$とは限らないということです．また，KC-spaceは明らかに$T_1$ですが，$T_1$空間はKC-spaceとは限らないそうです．
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