全てのコンパクト集合が閉であるがHausdorffでない位相空間

407

T_{1}

空間の特徴づけ

$X$ を位相空間とする．次は同値である．
(1) $X$ は $T_{1}$ ．
(2) 任意の $X$ の一点集合は閉集合である．

です．また，

$X$ を位相空間とする．(1) $⟹$ (2)である．
(1) $X$ はHausdorff．
(2) 任意の $X$ のコンパクト集合は閉集合である．

です．(2) $⟹$ (1)が成立するのかが気になります．

一般には，命題2(2) $⟹$ (1)は成り立たない．

証明の準備をします．

補可算位相

$X$ を任意の集合とする． $X$ の部分集合族 $O_{c}$ を
$O_{c} = {U \subset X ∣ X ∖ U は高々可算} \cup {\emptyset}$
と定めると，これは $X$ の位相であり，補可算位相(cocountable topology)という．

$X$ が高々可算な集合のとき， $O_{c}$ は離散位相になります．

$X$ を非可算集合とする． $(X, O_{c})$ はHausdorffでない．

$X$ の異なる2点 $x, y \in X$ を任意にとり固定する．
$x \in U_{x}, y \in U_{y}$
なる $U_{x}, U_{y}$ をそれぞれ任意にとる． $U_{x}, U_{y}$ はともに空でないので，
$U_{x} = X ∖ F_{x}, U_{y} = X ∖ F_{y},$
を満たす， $X$ の高々可算な部分集合 $F_{x}, F_{y}$ が取れる．このとき，
$U_{x} \cap U_{y} = X ∖ (F_{x} \cup F_{y})$
であり， $F_{x} \cup F_{y}$ は高々可算なので， $U_{x} \cap U_{y}$ は空でない．ゆえに， $(X, O_{c})$ はHausdorffでない．

$X$ を任意の集合とする． $(X, O_{c})$ の任意のコンパクト部分集合は有限集合である．

$X$ が高々可算なとき $O_{c}$ は離散位相なのでよい． $X$ が非可算集合の場合を示す． $X$ の無限部分集合 $B$ がコンパクトでないことを示す． $B$ の可算無限部分集合 $A$ を一つ取る．任意の $a \in A$ に対し，
$U_{a} = X ∖ (A ∖ {a}) = (X ∖ A) \cup {a}$
とおくと， $A ∖ {a}$ が可算無限集合であることから $U_{a}$ は開集合である．また，
$⋃_{a \in A} U_{a} = (X ∖ A) \cup (⋃_{a \in A} {a}) = X \supset B$
である．一方， $A$ の任意の有限部分集合 $F$ に対し，
$\begin{aligned} B \cap (⋃_{a \in F} U_{a}) & = B \cap ((X ∖ A) \cup F) \\ = (B ∖ A) \cup F \\ = B ∖ (A ∖ F) \\ ⊊ B \end{aligned}$
であるから，
$B ⊄ ⋃_{a \in F} U_{a}$
である．ゆえに， $B$ はコンパクトではない．すなわち， $(X, O_{c})$ のコンパクト部分集合は有限集合に限る．

$X$ を非可算無限集合とします．このとき， $(X, O_{c})$ はHausdorffではありません．しかし，任意のコンパクト部分集合は有限なので，補可算位相の定義より閉集合となります．これは命題2(2) $⟹$ (1)の反例を与えています．

追記）すべてのコンパクト部分集合が閉集合になるような位相空間をKC-spaceというらしいです．KC-spaceは $T_{2}$ とは限らないということです．また，KC-spaceは明らかに $T_{1}$ ですが， $T_{1}$ 空間はKC-spaceとは限らないそうです．

投稿日：2022年2月8日

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

バッチを贈って投稿者を応援しよう

バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。

投稿者

りんしゃん

3518

他の人のコメント

コメントはありません。

読み込み中

りんしゃん

全てのコンパクト集合が閉であるがHausdorffでない位相空間