大学数学基礎解説

列型空間⇔点列連続写像は連続

列型空間,位相空間論

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$X$ を位相空間とし， $A \subset X$ を部分集合とする．

$x$ に収束する $A$ の点列が存在する，という条件を満たす $X$ の点 $x$ 全体の集合を $s . cl (A)$ と表し， $A$ の点列閉包(sequential closure)という．
$A = s . cl (A)$ が成り立つとき， $A$ は点列閉集合(sequentially closed set)であるという．
$X$ の任意の点列閉集合が閉集合であるとき， $X$ は列型(sequential)であるという．

$X, Y$ を位相空間とし， $f : X \to Y$ を写像とする．

$x \in X$ とする． $x$ に収束する任意の $X$ の点列 $(x_{n})_{n \in N}$ に対し， $Y$ の点列 $(f (x_{n}))_{n \in N}$ が $f (x)$ に収束するとき，写像 $f$ は $x$ で点列連続(sequantially continuous at $x$ )であるという．
任意の $x \in X$ で $f$ が $x$ で点列連続であるとき，写像 $f$ は点列連続写像(sequantially continuous map)であるという．

$X$ を位相空間とする．次は同値である．

$X$ は列型である．
$Y$ を任意の位相空間とする．任意の点列連続写像 $f : X \to Y$ は連続である．

(1) $⟹$ (2)：任意の $Y$ の閉集合 $F$ をとる． $f^{- 1} (F)$ が点列閉集合であることを示す．任意に $x \in s . cl (f^{- 1} (F))$ をとり， $(x_{n})_{n \in N}$ を $x$ に収束する $f^{- 1} (F)$ の点列とする．このとき， $(f (x_{n}))_{n \in N}$ は $F$ の点列であり， $f$ の点列連続性より $f (x)$ に収束するので， $F$ が閉集合であることから $f (x) \in F$ ，すなわち $x \in f^{- 1} (F)$ である．ゆえに， $s . cl (f^{- 1} (F)) \subset f^{- 1} (F)$ であるから， $f^{- 1} (F)$ は点列閉集合である． $X$ が列型であることから， $f^{- 1} (F)$ は閉集合となるので， $f$ は連続である．

(2) $⟹$ (1)：集合 $2 = {0, 1}$ に ${\emptyset, {0}, 2} \subset P (2)$ で位相をいれた位相空間を $S$ で表すこととする．任意の $X$ の点列閉集合 $A$ をとる． $A$ の特性関数 $χ_{A} : X \to S$ が点列連続であることを示す．任意の $x \in X$ をとり， $(x_{n})_{n \in N}$ を $x$ に収束する任意の $X$ の点列とする． $x \in A$ のとき， $χ_{A} (x) = 1$ であり， $S$ の $1$ の近傍は $2$ しかないので， $(χ_{A} (x_{n}))_{n \in N}$ は $1 = χ_{A} (x)$ に収束する． $x \in X ∖ A$ のとき， $x \in X ∖ s . cl (A)$ であるから， $(x_{n})_{n \in N}$ のうち $A$ の元であるものは有限個になるので， $(χ_{A} (x_{n}))_{n \in N}$ は $0 = χ_{A} (x)$ に収束する．以上より $χ_{A}$ は点列連続である．よって仮定より， $χ_{A}$ は連続写像になるので， $S$ の閉集合 ${1}$ の逆像 $χ_{A}^{- 1} ({1}) = A$ は $X$ の閉集合である．ゆえに， $X$ は列型である．

投稿日：2022年2月9日

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