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列型空間⇔点列連続写像は連続

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$X$を位相空間とし,$A\subset X$を部分集合とする.

  1. $x$に収束する$A$の点列が存在する,という条件を満たす$X$の点$x$全体の集合を$\mathrm{s.cl}(A)$と表し,$A$点列閉包(sequential closure)という.
  2. $A=\mathrm{s.cl}(A)$が成り立つとき,$A$点列閉集合(sequentially closed set)であるという.
  3. $X$の任意の点列閉集合が閉集合であるとき,$X$列型(sequential)であるという.

$X,Y$を位相空間とし,$f:X\to Y$を写像とする.

  1. $x\in X$とする.$x$に収束する任意の$X$の点列$(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$に対し,$Y$の点列$(f(x_n))_{n\in\mathbb{N}}$$f(x)$に収束するとき,写像$f$$x$で点列連続(sequantially continuous at $x$)であるという.
  2. 任意の$x\in X$$f$$x$で点列連続であるとき,写像$f$点列連続写像(sequantially continuous map)であるという.

$X$を位相空間とする.次は同値である.

  1. $X$は列型である.
  2. $Y$を任意の位相空間とする.任意の点列連続写像$f:X\to Y$は連続である.

(1)$\Longrightarrow$(2):任意の$Y$の閉集合$F$をとる.$f^{-1}(F)$が点列閉集合であることを示す.任意に$x\in \mathrm{s.cl}(f^{-1}(F))$をとり,$(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$$x$に収束する$f^{-1}(F)$の点列とする.このとき,$(f(x_n))_{n\in\mathbb{N}}$$F$の点列であり,$f$の点列連続性より$f(x)$に収束するので,$F$が閉集合であることから$f(x)\in F$,すなわち$x\in f^{-1}(F)$である.ゆえに,$\mathrm{s.cl}(f^{-1}(F))\subset f^{-1}(F)$であるから,$f^{-1}(F)$は点列閉集合である.$X$が列型であることから,$f^{-1}(F)$は閉集合となるので,$f$は連続である.

(2)$\Longrightarrow$(1):集合$2=\{0,1\}$$\{\emptyset,\{0\},2\}\subset\mathcal{P}(2)$で位相をいれた位相空間を$\mathbb{S}$で表すこととする.任意の$X$の点列閉集合$A$をとる.$A$の特性関数$\chi_A:X\to\mathbb{S}$が点列連続であることを示す.任意の$x\in X$をとり,$(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$$x$に収束する任意の$X$の点列とする.$x\in A$のとき,$\chi_A(x)=1$であり,$\mathbb{S}$$1$の近傍は$2$しかないので,$(\chi_A(x_n))_{n\in\mathbb{N}}$$1=\chi_A(x)$に収束する.$x\in X\setminus A$のとき,$x\in X\setminus\mathrm{s.cl}(A)$であるから,$(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$のうち$A$の元であるものは有限個になるので,$(\chi_A(x_n))_{n\in\mathbb{N}}$$0=\chi_A(x)$に収束する.以上より$\chi_A$は点列連続である.よって仮定より,$\chi_A$は連続写像になるので,$\mathbb{S}$の閉集合$\{1\}$の逆像$\chi_A^{-1}(\{1\})=A$$X$の閉集合である.ゆえに,$X$は列型である.

投稿日:202229
更新日:2022212

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