列型空間⇔点列連続写像は連続
$X$を位相空間とし，$A\subset X$を部分集合とする．
- $x$に収束する$A$の点列が存在する，という条件を満たす$X$の点$x$全体の集合を$\mathrm{s.cl}(A)$と表し，$A$の点列閉包(sequential closure)という．
- $A=\mathrm{s.cl}(A)$が成り立つとき，$A$は点列閉集合(sequentially closed set)であるという．
- $X$の任意の点列閉集合が閉集合であるとき，$X$は列型(sequential)であるという．
$X,Y$を位相空間とし，$f:X\to Y$を写像とする．
- $x\in X$とする．$x$に収束する任意の$X$の点列$(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$に対し，$Y$の点列$(f(x_n))_{n\in\mathbb{N}}$が$f(x)$に収束するとき，写像$f$は$x$で点列連続(sequantially continuous at $x$)であるという．
- 任意の$x\in X$で$f$が$x$で点列連続であるとき，写像$f$は点列連続写像(sequantially continuous map)であるという．
$X$を位相空間とする．次は同値である．
- $X$は列型である．
- $Y$を任意の位相空間とする．任意の点列連続写像$f:X\to Y$は連続である．
(1)$\Longrightarrow$(2)：任意の$Y$の閉集合$F$をとる．$f^{-1}(F)$が点列閉集合であることを示す．任意に$x\in \mathrm{s.cl}(f^{-1}(F))$をとり，$(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$を$x$に収束する$f^{-1}(F)$の点列とする．このとき，$(f(x_n))_{n\in\mathbb{N}}$は$F$の点列であり，$f$の点列連続性より$f(x)$に収束するので，$F$が閉集合であることから$f(x)\in F$，すなわち$x\in f^{-1}(F)$である．ゆえに，$\mathrm{s.cl}(f^{-1}(F))\subset f^{-1}(F)$であるから，$f^{-1}(F)$は点列閉集合である．$X$が列型であることから，$f^{-1}(F)$は閉集合となるので，$f$は連続である．
(2)$\Longrightarrow$(1)：集合$2=\{0,1\}$に$\{\emptyset,\{0\},2\}\subset\mathcal{P}(2)$で位相をいれた位相空間を$\mathbb{S}$で表すこととする．任意の$X$の点列閉集合$A$をとる．$A$の特性関数$\chi_A:X\to\mathbb{S}$が点列連続であることを示す．任意の$x\in X$をとり，$(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$を$x$に収束する任意の$X$の点列とする．$x\in A$のとき，$\chi_A(x)=1$であり，$\mathbb{S}$の$1$の近傍は$2$しかないので，$(\chi_A(x_n))_{n\in\mathbb{N}}$は$1=\chi_A(x)$に収束する．$x\in X\setminus A$のとき，$x\in X\setminus\mathrm{s.cl}(A)$であるから，$(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$のうち$A$の元であるものは有限個になるので，$(\chi_A(x_n))_{n\in\mathbb{N}}$は$0=\chi_A(x)$に収束する．以上より$\chi_A$は点列連続である．よって仮定より，$\chi_A$は連続写像になるので，$\mathbb{S}$の閉集合$\{1\}$の逆像$\chi_A^{-1}(\{1\})=A$は$X$の閉集合である．ゆえに，$X$は列型である．