面白いかもしれない式

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こんにちは。
本日はCauchyの反復積分を用いて簡単だけど面白い式を導出してみます。

関数 $f (x)$ と任意の自然数 $n \in N$ に対して $F_{n} (x)$ を次のように定める。
$F_{n} (x) = \int_{0}^{x} d t_{n} \int_{0}^{t_{n}} d t_{n - 1} \dots \int_{0}^{t_{2}} d t_{1} f (t_{1})$
この $F_{n} (x)$ をCauchyの反復積分という。

$F_{n} (x) = \frac{1}{(n - 1)!} \int_{0}^{x} (x - t)^{n - 1} f (t) d t$
が成り立つ。

$n = 1$ の場合は明らか。
$n = 2$ の場合は
$\begin{array}{rcl} F_{2} (x) & = & \int_{0}^{x} d t_{2} \int_{0}^{t_{2}} d t_{1} f (t_{2}) \\ = & \int_{0}^{x} d t_{1} f (t_{1}) \int_{t_{1}}^{x} d t_{2} \\ = & \int_{0}^{x} d t_{1} (x - t_{1}) f (t_{1}) \end{array}$
$1, 2, . . ., n$ まで正しいと仮定する。そして $n + 1$ の場合を考える。
$\begin{array}{rcl} F_{n + 1} (x) & = & \int_{0}^{x} d t_{n + 1} F_{n} (t_{n + 1}) \\ = & \int_{0}^{x} d t_{n + 1} \frac{1}{(n - 1)!} \int_{0}^{t_{n + 1}} d t_{1} (t_{n + 1} - t_{1})^{n - 1} f (t_{1}) \\ = & \frac{1}{(n - 1)!} \int_{0}^{x} d t_{1} f (t_{1}) \int_{t_{1}}^{x} d t_{n + 1} (t_{n + 1} - t_{1})^{n - 1} \\ = & \frac{1}{n!} \int_{0}^{x} d t_{1} (x - t_{1})^{n} f (t_{1}) \end{array}$

$\frac{1}{(n + 1)!} = \sum_{m = 0}^{n - 1} \frac{m + 1}{(m + 2)! (n - m - 1)!}$

$\begin{array}{rcl} \int_{0}^{x} d t_{n} \int_{0}^{t_{n}} d t_{n - 1} \dots \int_{0}^{t_{2}} d t_{1} t_{1} & = & \frac{1}{(n - 1)!} \int_{0}^{x} (x - t)^{n - 1} t d t \\ = & \frac{1}{(n - 1)!} \int_{0}^{x} d t \sum_{m = 0}^{n - 1} (\begin{array}{cc} n - 1 \\ m \end{array}) x^{n - m - 1} t^{m + 1} d t \\ = & \frac{1}{(n - 1)!} \sum_{m = 0}^{n - 1} \frac{1}{m + 2} (\begin{array}{cc} n - 1 \\ m \end{array}) x^{n + 1} \\ = & \frac{1}{(n + 1)!} x^{n + 1} \end{array}$
ゆえに、 $x^{n + 1}$ の係数比較により証明完了。
$\begin{array}{r} \frac{1}{(n + 1)!} = \sum_{m = 0}^{n - 1} \frac{m + 1}{(m + 2)! (n - m - 1)!} \end{array}$

投稿日：2024年3月15日

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投稿者

かじゅみ

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ただ趣味で数学をやっている普通の人です。特殊な知識もなくただ数学を楽しみたいenjoy勢です。正直間違った事も平気で書くかもしれません。僕の書いている記事で間違いを発見した時は遠慮なくご指摘してくださると助かります。

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