こんにちは。
本日はCauchyの反復積分を用いて簡単だけど面白い式を導出してみます。
関数$f(x)$と任意の自然数$n \in \mathbb{N}$に対して$F_{n}(x)$を次のように定める。
\begin{equation}
F_{n}(x)=\int_{0}^{x}dt_{n}\int_{0}^{t_{n}}dt_{n-1}\cdots \int_{0}^{t_{2}}dt_{1}f(t_{1})
\end{equation}
この$F_{n}(x)$をCauchyの反復積分という。
\begin{equation}
F_{n}(x)=\frac{1}{(n-1)!}\int_{0}^{x}(x-t)^{n-1}f(t)dt
\end{equation}
が成り立つ。
$n=1$の場合は明らか。
$n=2$の場合は
\begin{eqnarray}
F_{2}(x)&=&\int_{0}^{x}dt_{2}\int_{0}^{t_{2}}dt_{1}f(t_{2}) \\
&=&
\int_{0}^{x}dt_{1}f(t_{1})\int_{t_{1}}^{x}dt_{2} \\
&=&
\int_{0}^{x}dt_{1}(x-t_{1})f(t_{1})
\end{eqnarray}
$1,2,...,n$まで正しいと仮定する。そして$n+1$の場合を考える。
\begin{eqnarray}
F_{n+1}(x)&=&\int_{0}^{x}dt_{n+1}F_{n}(t_{n+1}) \\
&=&\int_{0}^{x}dt_{n+1}\frac{1}{(n-1)!}\int_{0}^{t_{n+1}}dt_{1}(t_{n+1}-t_{1})^{n-1}f(t_{1}) \\
&=&
\frac{1}{(n-1)!}\int_{0}^{x}dt_{1}f(t_{1})\int_{t_{1}}^{x}dt_{n+1}(t_{n+1}-t_{1})^{n-1} \\
&=&
\frac{1}{n!}\int_{0}^{x}dt_{1}(x-t_{1})^{n}f(t_{1})
\end{eqnarray}
\begin{equation} \frac{1}{(n+1)!}=\sum_{m=0}^{n-1}\frac{m+1}{(m+2)!(n-m-1)!} \end{equation}
\begin{eqnarray}
\int_{0}^{x}dt_{n}\int_{0}^{t_{n}}dt_{n-1}\cdots \int_{0}^{t_2}dt_{1}t_{1}
&=&\frac{1}{(n-1)!}\int_{0}^{x}(x-t)^{n-1}t dt \\
&=&
\frac{1}{(n-1)!}\int_{0}^{x}dt\sum_{m=0}^{n-1}
\left(
\begin{array}{cc}
n-1 \\
m
\end{array}
\right)
x^{n-m-1}t^{m+1}dt \\
&=&
\frac{1}{(n-1)!}\sum_{m=0}^{n-1}\frac{1}{m+2}
\left(
\begin{array}{cc}
n-1 \\
m
\end{array}
\right)
x^{n+1} \\
&=&
\frac{1}{(n+1)!}x^{n+1}
\end{eqnarray}
ゆえに、$x^{n+1}$の係数比較により証明完了。
\begin{eqnarray}
\frac{1}{(n+1)!}=\sum_{m=0}^{n-1}\frac{m+1}{(m+2)!(n-m-1)!}
\end{eqnarray}