自作問題あなぐら９（Gauss記号と数列）
問題
実数からなる数列$\{a_n\}$は以下の関係を満たしている．
$$
\sum_{k = 1}^n a_k = 2 [a_n] + \frac{1}{n + 3} - 4
$$
ただし，実数$x$に対して$[x]$とは，$x$を超えない最大の整数を表す．
- $a_1$を求めよ．
- 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
余話
先日，
自作問題あなぐら８
で「こんな記事，誰も読んでないよ」的な自虐をしたところ，その記事で弊アカウント初の高評価を頂きました．ありがとうございます．もっと高評価お願いします．私は欲張りであまりにも有名です．ビュッフェでたくさん料理をとりすぎて痛い目を見た経験が何度もあります．
さて，この問題は，Gauss記号の扱いに慣れるための演習として作成した問題です．受験生時代の僕は，Gauss記号はもちろん知っていましたが，知っているだけの状態で，使いこなすことができていませんでした．例えば，$[x + k] = [x] + k \ (k \in \mathbb{Z})$という式を使うために，いちいち$[x] + k \leq x + k < [x] + k + 1$，$[x + k] \leq x + k < [x + k] + 1$などと立式し計算していました．思い返すと，Gauss記号は整数部分だけ取り出す記号（関数）という意識がもてていなかったのでしょう．この問題は，Gauss記号を使いこなせないと計算量が多くなるように作成しています．
解答
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(1) 漸化式で$n=1$として$a_1 = 2[a_1] - \dfrac{15}{4}$．両辺のGauss記号をとると$[a_1] = \left[2[a_1] - \dfrac{15}{4}\right] = 2[a_1] - 4$より$[a_1] = 4$．よって，元の式に戻して$a_1 = \dfrac{17}{4}$．
(2) 漸化式より
$$
\begin{cases}
\displaystyle \sum_{k=1}^{n+1} a_k = 2[a_{n+1}] + \frac{1}{n + 4} - 4, \\
\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k = 2[a_n] + \frac{1}{n + 3} - 4
\end{cases}
\qquad \therefore
a_{n+1} = 2 [a_{n+1}] - 2 [a_n] + \frac{1}{n + 4} - \frac{1}{n + 3}.
$$
ここで$\dfrac{1}{n+4} - \dfrac{1}{n+3} = - \dfrac{1}{(n+3)(n+4)}$より$-1 < \dfrac{1}{n+4} - \dfrac{1}{n+3} < 0$ゆえ
$$
[a_{n+1}] = \left[2 [a_{n+1}] - 2 [a_n] + \frac{1}{n + 4} - \frac{1}{n + 3}\right] = 2 [a_{n+1}] - 2 [a_n] - 1.
$$
したがって$[a_{n+1}] = 2 [a_n] + 1$を得るので$[a_{n+1}] + 1 = 2 ([a_n] + 1)$を得る．
$$
\therefore [a_n] + 1 = 2^{n-1} ([a_1] + 1) = 5 \cdot 2^{n-1}, \qquad \therefore [a_n] = 5 \cdot 2^{n-1} - 1.
$$
よって
\begin{align*}
a_{n+1} &= 2 [a_{n+1}] - 2 [a_n] + \frac{1}{n + 4} - \frac{1}{n + 3} \\
&= 5 \cdot 2^{n} - \frac{1}{(n+3)(n+4)}
\end{align*}
ゆえ，$n \geq 2$なる$n$に対して
$$
a_n = 5 \cdot 2^{n-1} - \frac{1}{(n+2)(n+3)}
$$
が成立．これは$n=1$では成立しないので，求める一般項は
$$
a_n =
\begin{cases}
\dfrac{17}{4} & (n = 1), \\
5 \cdot 2^{n-1} - \dfrac{1}{(n+2)(n+3)} & (n \geq 2).
\end{cases}
$$
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