ラグランジュ補間についてのメモ

$f$を整関数とし, $x,x_1,x_2,\dots ,x_{n+1}$を相異なる複素数とする.
${\displaystyle g(z)=\frac{f(z)}{x-z}\prod _{k=1}^{n+1}\frac{x-x_k}{z-x_k}}$ とおく.
各$i$について
$$\begin{array}{rl}\mathrm{Res}(g,x_i)& =\underset{z\to x_i}{lim}(z-x_i)g(z)\\ & =f(x_i)\prod _{k\ne i}\frac{x-x_k}{x_i-x_k}\end{array}$$
さらに,
$$\begin{array}{rl}\mathrm{Res}(g,x)& =\underset{z\to x}{lim}(z-x)g(z)\\ & =-f(x)\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}\mathrm{Res}(g,\mathrm{\infty })& =-\mathrm{Res}(\frac{1}{z^2}g\left(\frac{1}{z}\right),0)\\ & =-\underset{z\to 0}{lim}z\cdot \frac{1}{z^2}g\left(\frac{1}{z}\right)\\ & =-\underset{w\to \mathrm{\infty }}{lim}wg(w)(w=\frac{1}{z})\\ & =\underset{w\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(w)}{w^{n+1}}\cdot \frac{w^{n+2}}{w-x}\prod _{k=1}^{n+1}\frac{x-x_k}{w-x_k}\end{array}$$

ここで${\displaystyle \underset{w\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{w^{n+2}}{w-x}\prod _{k=1}^{n+1}\frac{x-x_k}{w-x_k}}$は有限値${\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}(x-x_k)}$に収束するので, ${\displaystyle \underset{w\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(w)}{w^{n+1}}=a(a\in \mathbb{C})}$ ならば${\displaystyle \mathrm{Res}(g,\mathrm{\infty })=a\prod _{k=1}^{n+1}(x-x_k)}$. 上で計算した全ての留数の和が$0$に等しいことから, 以下の式が得られる.

これは$x=x_i$でも正しい. $a=0$であれば通常のラグランジュ補間の式と一致する.

また明らかに$f$は$n+1$次以下の多項式なので, 次の結果が得られる.

コメント:絶対普通に考えた方が早いです‼️