ラグランジュ補間についてのメモ

$f$を整関数とし, $x, x_1, x_2, \dots , x_{n+1}$を相異なる複素数とする.
$\displaystyle g(z)=\cfrac{f(z)}{x-z}\prod_{k=1}^{n+1}\cfrac{x-x_k}{z-x_k}$ とおく.
各$i$について
\begin{align} \mathrm{Res}(g, x_i) &=\lim_{z\to x_i}(z-x_i)g(z) \\ &=f(x_i)\prod_{k\neq i}\cfrac{x-x_k}{x_i-x_k} \end{align}
さらに,
\begin{align} \mathrm{Res}(g, x) &=\lim_{z\to x}(z-x)g(z) \\ &=-f(x) \end{align}

\begin{align} \mathrm{Res}(g, \infty) &=-\mathrm{Res}\left(\cfrac{1}{z^2}g\left(\cfrac{1}{z}\right), 0\right) \\ &=-\lim_{z\to 0} z\cdot \cfrac{1}{z^2}g\left(\cfrac{1}{z}\right) \\ &=-\lim_{w\to \infty}wg(w)\quad (w=\cfrac{1}{z}) \\ &=\lim_{w\to \infty}\cfrac{f(w)}{w^{n+1}}\cdot \cfrac{w^{n+2}}{w-x}\prod_{k=1}^{n+1}\cfrac{x-x_k}{w-x_k} \end{align}

ここで$\displaystyle\lim_{w\to \infty}\cfrac{w^{n+2}}{w-x}\prod_{k=1}^{n+1}\cfrac{x-x_k}{w-x_k}$は有限値$\displaystyle\prod_{k=1}^{n+1}(x-x_k)$に収束するので, $\displaystyle\lim_{w\to \infty}\cfrac{f(w)}{w^{n+1}}=a~(a \in \mathbb{C} )$ ならば$\displaystyle\mathrm{Res}(g, \infty)=a\prod_{k=1}^{n+1}(x-x_k)$. 上で計算した全ての留数の和が$0$に等しいことから, 以下の式が得られる.

これは$x=x_i$でも正しい. $a=0$であれば通常のラグランジュ補間の式と一致する.

また明らかに$f$は$n+1$次以下の多項式なので, 次の結果が得られる.

コメント:絶対普通に考えた方が早いです‼️