超限帰納法によるTychonoffの定理の証明

全ての$x\in X$についてある$B$の有限部分集合が存在して$\{x\}\times Y$を被覆すると仮定する。この部分集合を$U_{x,1}\times V_{x,1},\,\dots,\,U_{x,n}\times V_{x,n}$とする。このとき、$U_x=\bigcap_{j=1}^nU_{x,j}$とすると$U_x$は$X$の開集合である。ここで、$\bigcup_{x\in X}U_x=X$と$X$のコンパクト性より$x_1,\,\dots,\,x_m$で$\bigcup_{i=1}^mU_{x_i}=X$なるものが存在する。このとき、$\bigcup_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}U_{x_i,j}\times V_{x_i,j}=X$となり、$B$が$X\times Y$の有限部分被覆を持たないことに矛盾する。

$\alpha$を$\Lambda$の濃度とし、$\alpha$の元を全単射により$\Lambda$の元とみなす。$\prod_{i\in\Lambda}X_i$と$\prod_{i\in\alpha}X_i$は位相同型なので、$\prod_{i\in\alpha}X_i$がコンパクトであることを示す。
また、$p=(p_i)_{i\in\alpha}\in X$と$\beta\in\alpha$について
\begin{equation} Z_{p,\beta}=\prod_{i<\beta}\{p_i\}\times\prod_{\beta\leq i <\alpha}X_i \end{equation}
とする。また、$X$の開基として
\begin{equation} \mathcal{B}=\left\{\prod_{i\in\Lambda}Y_i\middle| 有限集合 I\subset\Lambda が存在し、i\in IでY_iはX_iの開集合、i\notin IでY_i=X_i\right\} \end{equation}
を取る。任意の$X$の被覆$B\subset\mathcal{B}$について、$X$の有限部分被覆が存在することを示せば良い。$X$の被覆$B\subset\mathcal{B}$を取る。$B$が有限部分被覆を持たないと仮定する。以下、Lemma 1と超限帰納法を用いて、各$i$について帰納的に$p_i\in X_i$を選ぶことで、任意の$0\leq\beta\leq\alpha$について任意のBの有限部分集合が$Z_{p,\beta}$を被覆しないような$p$を構成する。このような$p$が構成できると、$Z_{p,\alpha}=\prod_{i<\alpha}\{{p_{\alpha}}_i\}=\{p_\alpha\}$となり、$B$の元で$\{p_\alpha\}$を含むものがあることと矛盾し、定理が示される。

$\beta=0$のとき
$p$によらず$Z_{p,\beta}=X$であり、仮定より$B$は$Z_{p,\beta}$の有限部分被覆を持たない。
$\beta$が後続順序数のとき
$\beta=S(\gamma)$とする。このとき、$B$の有限部分集合が$Z_{p,\gamma}$を被覆しないような$p_i\ (i<\gamma)$を帰納的にとっていることを仮定できる。ここで、$Y=\prod_{i<\gamma}\{p_i\}\times X_{\gamma}\simeq X_{\gamma},\ Z=\prod_{\gamma< i<\alpha}X_i$とすると$Y$はコンパクトであり、$B$は$Z_{p,\gamma}=Y\times Z$の有限部分被覆を持たない。ここで、Lemma 1よりある$y\in X_{\gamma}$が存在し、$B$は$\prod_{i<\gamma}\{p_i\}\times\{y\}\times\prod_{\gamma< i<\alpha}X_i$の有限部分被覆を持たない。よって、$p_{\gamma}=y$とすればよい。
$\beta$が極限順序数のとき
任意の$\gamma<\beta$について$B$の有限部分集合が$Z_{p,\gamma}$を被覆しないような$p_i\ (i<\beta)$を帰納的にとっていることを仮定できる。このとき、ある$B$の有限部分集合が$Z_{p,\beta}$を被覆すると仮定して矛盾を導く。そのような$B$の有限部分集合を$B_1,\,\dots,\,B_m$とする。$j=1,\,\dots,\,m$についてある$\alpha$の有限部分集合$S_j$が存在して、
\begin{align} B_j={}&\prod_{k\in S_j}U_{j,k}\times\prod_{k\notin S_j}X_k\\ {}&\text{where }U_{j,k}\text{ is an open set of }X_k \end{align}
とかける。ここで、$S_j$は有限集合なので最大元が存在し、これを$\gamma_j$とする。そして、$\gamma=\max\{\gamma_1,\,\dots,\,\gamma_m\}$とする。このとき、$B_1,\,\dots,\,B_m$は$Z_{p,S(\gamma)}$の有限被覆となるが、$\beta$が極限順序数であることから$S(\gamma)<\beta$で$p_i$の構成に矛盾する。