調和平均を0を含めるようにしたかった

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導入

0が入っていると調和平均が計算できないのすごく不便。

定義

niceな調和平均

$\begin{array}{r} {HM}_{n i c e} (a_{n}) := lim_{h \to 0} \frac{n}{\underset{i = 1}{\sum^{n}} \frac{1}{a_{i} + h}} \end{array}$

極限で通常の調和平均に一致すればいいと思った。

性質

$0 \in (a_{n})$ ならば ${HM}_{n i c e} (a_{n}) = 0$

$\exists k, a_{k} = 0$ とする。
$\begin{array}{rcl} {HM}_{n i c e} (a_{n}) & = & lim_{h \to 0} \frac{n}{\underset{i = 1, i \neq k}{\sum^{n}} \frac{1}{a_{i} + h} + \frac{1}{h}} \\ = & lim_{h \to 0} \frac{n h \underset{i = 1, i \neq k}{\prod^{n}} (a_{i} + h)}{\underset{i = 1, i \neq k}{\prod^{n}} a_{i} + h \underset{i = 1, i \neq k}{\overset{n}{△}} a_{i}} \\ = & 0 \end{array}$