調和平均を0を含めるようにしたかった

導入

0が入っていると調和平均が計算できないのすごく不便。

定義

niceな調和平均

\begin{eqnarray} \mathrm{HM}_{nice}(a_n) := \lim_{h\rightarrow 0} \frac{n}{\gsum{i=1}{n}{\frac{1}{a_i+h}}} \end{eqnarray}

極限で通常の調和平均に一致すればいいと思った。

性質

$0 \in (a_n)$ならば $\mathrm{HM}_{nice}(a_n) = 0$

$\exists k,a_k = 0$とする。
\begin{eqnarray} \mathrm{HM}_{nice}(a_n) &=& \lim_{h\rightarrow 0} \frac{n}{\gsum{i=1,i\neq k}{n}{\frac{1}{a_i+h}} + \frac{1}{h}} \\ &=& \lim_{h\rightarrow 0} \frac{n h\gprod{i=1,i\neq k}{n}{(a_i+h)}}{\gprod{i=1,i\neq k}{n}{a_i} +h\prodsum{i=1,i\neq k}{n}{a_i}} \\ &=& 0 \end{eqnarray}

※$\prodsum{i}{n}{a_i}$は三角形演算子